Points Simples et points multiples. — Soit
l'équalion en coordonnées trilinéaires d'une courbe d'ordre n ; et soit (.^, y, z') un de ses points. Cherchons son ordre de multiplicité.
Une droite menée par ce point et par un autre point arbitraire (a, 6, c) est évidemment représentée par l'équation
ou par le système équivalent
/ x' :=! xt ~T- as,
y —yt-Y- bs,
Zt
es.
x', y', z' étant les coordonnées courantes et t, s deux paramètres, dont le rapport caractérise les points de la droite.
s Les valeurs de ce rapport -? pour les points d'intersection
de la droite avec la courbe, seront données par l'équation
G zrzf^xt H- as, yt -f- bs, zt -\- es)
a—m \ Ox
ôy ()z
Si-v^j -r-) -^ ne sont pas nuls à la fois, on n'aura, en âx dy dz ^
général, qu'une racine nulle ; le point sera simple.
La racine nulle sera double si a, 6, c sont déterminés de
telle sorte qu'on ait
t"-^sia^-4- -^ b-J- -\- c-f \—o.
dx dy ôz
Substituons, dans cette équation, les valeurs de as^ bs, es tirées des formules (i3) et remarquons que l'on a, d'après une propriété connue des fonctions homogènes,
àf df df .
dx ^ ôy dz "^
il viendra, pour l'équation de la tangente,
ox ôy oz
Supposons, au contraire, que / et toutes ses dérivées successives, jusqu'à l'ordre m — i inclusivement, s'annulent. L'équation (i4) aura m racines nulles et le point (.r, JK? -^) sera multiple d'ordre m.
On aura plus de m racines nulles si a, 6, c sont choisis de telle sorte qu'on ait
a- V- b -. hc-T-/ = o.
dx a y azj ''
Cette équation, jointe aux équations (i3), caractérise les tangentes au point multiple. Il est aisé d'éliminer les quantités auxiliaires a, ^, c. Nous venons de voir en effet que, / étant homogène et s'annulant au point (:c, jr, 2), on a
JJl ^1,^1 dj\__ ,dj dj ,dl^
'\^dx^^ dy^"" dz)-'' ôx^^ ây^^ ôy
Cette nouvelle fonction étant elle-même homogène en ^, JK, z et s'annulant au point x^y, ^, on aura, par la répétition de la même opération.
et
enfin
^j-'-r à.v^^ dy^' dz)-''
Le faisceau des tangentes cherchées aura donc pour équation
Le premier membre de cette équation est un covariant. Pour vérifier qu'il se décompose en un produit de facteurs linéaires, nous pourrons supposer qu'on ait pris le point (^, y, z) pour l'un des sommets du triangle de référence ; on aura, dans ce cas particulier, œ = o^ y = o^ et l'équation ( i5) se réduira à
car toutes celles des dérivées d'ordre m où figure une dériva-
tion par rapport à z sont nulles. Soit, en effet, -: r—r
^ ^^ ' ' dœ'^dyPâzy
l'une d'elles; c'est la dérivée par rapport à s de la dérivée
d'ordre m — i
â.z<='dyPdzy-^'
laquelle est homogène de degré n — /n-{- i et s'annule pour x=y=o. On aura donc l'identité
dl 01 di ^
dx ^ dy âz ^ ' '
qui se réduira a — rzr o au point :r = o,y = o.
562. Points d'inflexion. — Ce sont, par définition, les points simples où la tangente a avec la courbe un contact d'ordre supérieur au premier. Si donc (^, y, z) est un de ces points et qu'on choisisse le point (a, ^, c) d'une manière quelconque sur la tangente, l'équation ( i4) devra admjttre trois racines nulles ; on aura donc non seulement
ôx dy oz
mais encore
2\ dx dy '^^ ' ''
dz
Cette dernière équation devant être une conséquence de la précédente, son premier membre, qui est un poljnome du second degré en «, h, c, se décomposera en un produit de deux facteurs, dont l'un sera précisément
dx dy
dz
La condition pour qu'une décomposition en deux facteurs soit possible est, comme on sait, que le déterminant de cette forme quadratique
dV
dx''
dx dy
dx dz
Il 1^
dy dx
dy dz
d^f dz dx
dzdy
dz^
soit égal à zéro.
Réciproquement,
si H:=
0, on
aura ai
e a un point
d'inflexion. On pourra, en effet, déterminer trois nombres a, è, c de telle sorte qu'on ait
dy dx
d\f dz dx
dx dy
dy'
âzày
dx dz
d\f dydz
dz'^
Ajoutant ces équations respectivement multipliées par
^ , —^ — , —^ — el tenant compte de l'homogénéité de
Il — l II — V II — 1
56o PREMIÈRE PARTI i:. — CHAPITRE V.
àj df df ., . , -r-' -T-) -—•) il viendra ox ay az
ùf , ùf df
or ôy oz
Le point (.«, 6, c) est donc sur la tangente.
D'autre part, les mêmes équations, multipliées para, 6, c, et ajoutées ensemble, donnent
à.r Oy ôz I -^
La tangente a donc un contact du second ordre avec la courbe.
Les points d'inllexion seront donc les points d'intersection de la courbe /=o avec sa hessienne H=:o. Cette dernière courbe étant d'ordre 3 (/z — a), on aura, en général, 3/î(ai — 2) points d'inflexion.
Ce nombre s'abaisse dans le cas particulier où la courbe y= o a des points multiples. En elFet, on a, en chacun de
ces points,
ùf df ùf
^ — o, i^ = o, -r-=o dx ây ôz
ou, à cause de l'homogénéité,
ox- •^ o.v ôy ax az
ôy dx -^ dy^- àyôz
Ozôx • (Jzày Oz-
et, comme x^ y^ z ne sont pas nuls à la fois, le déterminant H de ces équations doit être nul.
Les points multiples de/ figurent donc, chacun avec un certain ordre de multi[)licité, parmi les intersections de /et de H. Mais ce ne sont pas des points d'inflexion, d'après la définition de ceux-ci, qui doivent être des points simples de/.
COURBES PLANES ALGÉBHIQLES. 56 f
o63. Classe. — : On nomme classe d'une courbe f le nombre v des tangentes qu'on peut lui mener par un point arbitraire {x' ^ y, z').
Soit (^, JK, z) le point de contact d'une de ces tangentes; on aura
et la tangente en ce point passant par (x\ y', z')
,df ,df ,df ^ ^ ' dx ^ dy ôz
Les deux courbes (i6) et (17), de degrés n et n — i , se coupent en n{n — i) points. On a donc, en général,
Toutefois, si la courbe / a des points multiples, leurs coordonnées satisferont identiquement aux deux équations ci-dessus, quels que soient x', y', z' . La droite qui joint un de ces points multiples au point arbitraire (^', y' ^ z')^ bien que coupant la courbe en deux points coïncidents, n'est pourtant pas une tangente au sens propre de ce mot. On devra donc, dans l'évaluation de la classe, supprimer ces solutions étrangères.
564. Coordonnées tangentielles. — L'équation générale d'une droite est de la forme
//^ -h cy 4- (ï'5 r=o.
Les coefficients «, v^ w (ou plutôt leurs rapports ) se nomment les coordonnées tangentielles de la droite.
Les diverses droites qui passent par un point (<7, h. 6-) satisfont à l'équation
ua -h vtj 4- svc 3r 0,
qu'on peut considérer comme représentant ce point.
Plus généralement, les droites qui satisfont à une cqii;i-
tion homogène et de degré v en w, p, w
enveloppent une courbe, dont nous dirons que l'équation précédente est V équation tangentielle.
Cette courbe sera de classe v, car, si l'on veut déterminer celles de ses tangentes qui passent par un point arbitraire (a, b^ c), il faudra associer les deux équations
lia -h yb -h wc =: o.
Tirant de la seconde équation la valeur de l'une des inconnues II, ç, Wj pour la substituer dans la première, on aura une équation de degré v pour déterminer le rapport des deux autres.
Deux courbes F =: o, $==0, des classes |ji et v, auront [jiv tangentes communes dont les coordonnées seront définies par les équations F = o, <ï> r= o.
565. On peut distinguer des tangentes simples ou multiples, par des considérations calquées sur celles qui nous ont servi à l'étude des points multiples.
Soient, en effet, F(w, t^, (v) = o l'équation tangentielle d'une courbe de classe v ; (w, r, iv) l'une de ses tangentes. Son intersection avec une autre droite arbitraire (a, b, c) sera représentée par l'équation
