II

ou par le système équivalent

u' z=z ut -\- as, {>' =1 vt -f- bs^ w' = \vt -\- es.

s ' Les valeurs de - pour les tangentes menées de ce point 9

la courbe sont données par l'équation o=zF{ut -i- as^ vt -h bs, wt -h es)

\ du dv ôw

bi-— 5 T-' -T" ne sont pas nuls a la lois, on n aura, en on 0^ aw * '

général, qu'une racine nulle ; une seule des tangentes menées par le point considéré coïncidera donc avec (î/, v^ w). Toutefois, si la droite (a, 6, c) passe par le point de con-

fd¥ d¥ d¥\ . , tact ( -r— j —) — I de la tangente (w, v^ çv), deux tangentes

du â^ ôw

au moins coïncideront avec (m, v^ w).

Î5i -r-) -r— , -T— et, en eeneral, toutes les dérivées de r du dv dw ^ ^ '

d'ordre <C m s'annulent, on aura toujours m racines nulles,

et nous dirons que (;/, v^ w) est une tangente multiple

d'ordre m. Le nombre des racines nulles s'élèvera d'ailleurs

au-dessus de m si a, 6, c satisfont à l'équation

au ov a

laquelle se décomposera en un produit de m facteurs linéaires, dont chacun représente un point de contact.

566. Il est aisé de passer de l'équation d'une courbe en coordonnées ponctuelles à son équation en coordonnées tangentielles, et réciproquement.

Soient, en effet, (u, v, w) les coefficients de la tangente en un point (x, y, z) de la courbe /(^, jKj ^) = o- Cette droite passant par les deux points (^,/, ^ ) et (x-^-dx^y-i-dy^z-i-dz)^ on aura

u X -h vy 4- (ï^ :; =z o, u dx -^ v dy -\- w dz = o,

d'où

u\ r : w \\ y dz — zdy \ z dx — x dz \ xdy — / dx,

Mais on a d'autre part

àf àf df

dx -^ âf âz -^

df . ùf . êf .

ôx oy "^ (Jz d'où

J . J • Z, • • Y dz — z dr '. z dx — x dz \ x dy — y dx, dx' dy' âz -^ -^ -^ "^

Donc

àf df df Ox dr dz

Éliminant 5;, y, z entre ces équations et l'équation f=zo, on aura l'équation tangentielle cherchée

Réciproquement, soient (^, J, z) les coordonnées du point de contact de la tangente {u, (^, w) avec son enveloppe F = o. On aura

ux -h vy ->r wz^=-o, X du -f- r dv H- z dsv z=z o,

d'où

X '. y '. z- y. V d^r — ir dv \ (v du — // rAv : u dv — v du .

Mais, d'autre part,

dV dV dV

,/ + r — - + H' — = vF ~ o,

Ou uv ()\v

dY^ , d\^ , ^F ^

— du -^ — — dv 4- - — dw == o, Ou dv dw

d'où

— : — : -— : : r d^v — (r dv : w du — u dw : u dv — V du. dU; dv dw

Donc

X \ y ', z W -T— \ — — \ — — • •^ du dv dw

Eliminant w, ç, w entre ces équations et F = o, on retombera sur l'équation ponctuelle y(^, y^ z) = o.