Un polynôme homogène et de degré n
contient un terme en ^'% deux termes en a;""', . . . , n -^ \ termes indépendants de x^ soit, en tout,
I H- 2 4- . . . H- ( Ai + I ) = termes.
On peut donc assujettir ses coefficients à satisfaire à
^ — I relations linéaires et homogènes, qui
détermineront leurs rapports. Le polynôme sera ainsi déterminé à un facteur constant près. Toutefois, si le déterminant des équations de condition est nul, il restera plusieurs coefficients indéterminés.
On obtient une relation de Fespèce considérée en assujettissant la courbe /=o à passer par un pornt donné (^1, y,, z^). Pour exprimer que le point est multiple
1,1 1 . , . miTn-\-\) , . . 1
d ordre m, on devrait écrire conditions de même
nature, exprimant que les dérivées partielles d'ordre m — i de /s'annulent toutes en ce point.
Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes, carnet ses dérivées partielles d'ordre moindre s'annuleront aussi. Soit, en effet, I l'une quelconque des dérivées d'ordre ni — 2] on aura, d'après le théorème des fonctions homogènes,
puisque les dérivées d'ordre m — i qui figurent dans le second membre sont toutes nulles, par hypothèse.
Les dérivées d'ordre m — 2 étant toutes nulles, celles d'ordre m — 3 le seront aussi, et ainsi de suite, jusqu'à/.
JNous obtenons donc la proposition suivante :
On peut toujours déterminer , et en général d^ une seule manière, une courbe d^ ordre n passant par
— I points donnes.
Cet énoncé subsistera^ si Von remplace la condition de
m{ni-\-\) , 1, ^j
passer par points donnes par cette a avoir un
point multiple d^ ordre m donné de position.
Ï5i le nombre des points donnes était i
seulement, les coeflîcients seraient déterminés en fonction linéaire de deux d'entre eux, c, c^ , qui resteraient arbitraires, et l'équation de la courbe cherchée serait de la forme
cW -\~ c, M, = o,
M, M< étant des polynômes déterminés, d'ordre n. En fai-
sant varier le rapport — on obtiendra un faisceau de courbes,
passant toutes par les points donnés ; mais elles passeront aussi par Jes autres points d'intersection de M avec M,.
On voit ainsi qu a chaque système de — a
points arbitrairement pj^is dans le plan, est associé un
1 « in -\-i)(n-\- 1) . ,
autre système de n^ -\- i points tels que
toute courbe d^ ordre n qui passe par les premiers points passe aussi par les autres.
568. Les considérations qui précèdent permettent d'obtenir aisément une limite supérieure du nombre des points multiples que peut présenter une courbe donnée d'ordre n^
Supposons d'abord que le polynôme /ne soit pas décomposable en un produit de facteurs rationnels. Soient yD,,/?2, •••
les points multiples, [jli, {jl2, . . . leurs ordres de multiplicité : chacun des nombres l±J-1 1 sera au moins égal à i .
tiples, ne pourra surpasser
La somme / /—^ ; étendue à tous les points mul-
Supposons, en effet, qu'elle surpasse ce nombre. Parmi les points multiples, choisissons-en un certain nombre pi, . . . , /?a en nombre strictement nécessaire pour
que la somme
par ^
soit plus grande que
Deux cas seront à distinguer ici :
1 ° Si S/f^ — I , on pourra déterminer une courbe o
d'ordre n — i admettant les points /?, , . . . , /?a comme points multiples d'ordre pii — i, ..., ^a — i, et passant en outre
— ^ I — Sf( points choisis arbitrairement sur /;
car cet ensemble de conditions donne bien les i
relations linéaires et homogènes auxquelles on peut assujettir les coefficients de cp.
Cherchons le nombre N des points d'intersection de / et de cp.
Ainsi que nous le démontrerons plus tard, un point commun à deux courbes, et dont les degrés de multiplicité sur ces deux courbes sont respectivement ^ et v, compte en général pour |JLV intersections. Le nombre des intersections correspondantes aux points multiples sera donc k
568 PHEMIÈHE PAUTIE. — CHAPITRE V.
: On aura donc
N - 9 S/, H ^^ ^ — 1 — Sy^.
(^Zj~l)( « — 2 ) /i ( /i 4- I )
Ce résultat est absurde, car deux courbes de degré n et n — i
ne peuvent avoir plus de n(n — i) points communs si elles
n'ont pas de partie commune, ce qui n'est pas le cas, la
courbe /étant indécomposable, par hypothèse.
2° supposons, au contraire, o/, >> i. I^oit p le
plus grand entier tel que l'on ait encore
On pourra déterminer une courbe (p de degré n — i admettant les points /><, . . . , p/c-t, Pk avec des ordres de multiplicité a, — 1 , . . . , ^h-\ — i^ p- Le nombre N de ses points d'intersection avec y* sera au moins égal à
et, comme ^hy^ H- ' et que, d'autre part,
est par hypothèse j> - i, on aura
La conséquence sera la même que dans le premier cas.
COURBKS PLANES ALGÉBRIQUES. 669
Enfin, si/ est un produit de facteurs/, ,/2 7 • • • 7 les points multiples de /seront évidemment : i'' ceux des courbes /, /a, . . . considérées isolément ; 2" leurs points d'intersection deux à deux. Les uns et les autres sont en nombre limité (si nous excluons le cas où /admettrait un facteur multiple).
