II. — Cycles

569. Un cycle ayant pour origine le point (Xo, Yq) est généralement défini par deux équations de la forme

ou, en coordonnées homogènes, par les proportions

œ : V : z : : Xo -h ai ^ -+- . . . : Yo -h jSi ^ + . . . : « ,

ou enfin, en multipliant les seconds termes des proportions par un même facteur de la forme Zq -]- Cf t -\- c^t' -\- . . . , où Zq n'est pas nul, par des relations de la forme

(2) œ:f:z::Tr.T,:T„

où

T| --zr .^0 -h «1 / 4- «2 t^ -1- ....

T, = Zo-hCit -^c^t^ -^...,

Zq n'étant pas nul.

Un cycle dont l'origine serait à l'infini serait représenté par des relations analogues, où Zq serait nul, mais Xq oujKo différent de zéro.

Réciproquement, un système de relations tel que (3) définit un cycle, car, en supposant, pour fixer les idées^ ^o^^7

X = ;=^ et Y rir: — H scTout dévcloppablcs suivant les puissance?

entières et positives de ^.

570. Nous supposerons que le paramètre t correspond uniformément aux points du cycle. S'il en est ainsi, et si la

570 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITHE V.

tangente au cjcle est une droite

Y-Yo=a(X-Xo), non parallèle à l'axe des Y, on pourra, en posant

^ = Xi M -h ^2 ?<^ + . . . ,

déterminer les coefficients \ de telle sorte que les équations du cycle prennent la forme canonique :

(3) Xr=Xo+f/^ Y z=Yo-^ au''-^ a^a'^o-^. . .,

r, /'o, ... étant une suite d'entiers croissants sans autre diviseur commun que l'unité.

Dans le cas exceptionnel où X — X,, = o serait tangente, on aurait une forme canonique analogue:

X = Xo 4-^0 "'■» + •. ., Y = Yo-f-f<'".

Pour une valeur donnée de X — Xq, les équations (3)

fourniront /• valeurs tjo, */j<, . . . , vir< de Y, données par les

formules suivantes, où (X — Xo)'" désigne l'une quelconque

des racines /''^'"•"^ de X — Xq, et 8 l'exponentielle e

2TCt r

y]o :=Yo+a(X-Xo) + ^o(X — Xo)--h«,(X-Xo)''+...,

in,„=: Yo+ «(X - Xo) 4- ao^'^o'^CX - Xo)'- -H ^,9^'"(^ — ^o)'" + . . -

Le cycle pourra d'ailleurs être exprimé, sans l'intervention d'un paramètre, par l'équation

dont le premier membre est un polynôme en Y, ajant pour coefficients des séries de puissances entières et positives de