Revenons à la forme générale (2) des équations du
cycle. Les paramètres des points d'intersection d'une droite
avec le cycle sont donnés par l'équation
Si la droite passe par le point (x^). yo^ ^o) origine du cycle, on aura
Xi ^0 -+- ^^2/0 + ^3 -0 = o,
et, si arj brt Cr est la première colonne de coefficients qui ne soient pas proportionnels à Xq^ y^^ Zq^ le premier membre de (6) sera de la forme
L'équation aura donc r racines nulles, qui se changeraient d'ailleurs en racines infiniment petites pour une autre droite, infiniment voisine de la précédente, mais ne passant pas par l'origine du cycle. La droite et le cycle doivent donc être considérés comme ayant r points d'intersection concentrés à l'origine.
Ce nombre sera accru si l'on a encore
>i, a,. 4- A2 b,. 4- X3 c,. = o, auquel cas l'équation de la droite sera
br
Cette droite sera donc la tangente au cycle, et l'on aura
X,T, 4- X2T, 4- A3T3 =- (X, a,.4.p 4- X2 hr+o -i- >3C,.+ p) r+P -V . . . ,
«r+p, ^r+p^ c^+p étant la première colonne de coefficients telle que l'on ait
•^0 ^r <^r+p Jo br ^,.+p ^0 ^r ^r-t-p
Le nombre des intersections de la tangente avec le cycle au point {xq, yo, Zq) sera donc /• H- p.
Les nombres /' et p se nomment Vordre et la classe du cycle.
Un cycle dont les équations ont été mises sous la forme canonique (3) a évidemment pour ordre /■, pour classe /q — /", et pour tangente la droite Y — Yq = «(X — Xq).
o72. Soient c et C deux cycles ayant même origine. Proposons-nous de déterminer le nombre de leurs intersections confondues avec l'origine.
Gomme il est évident qu'une transformation Komographique change un cycle en un autre cycle, il est permis d'admettre que le triangle de référence ait été choisi de telle sorte que l'origine commune des cycles ne soit pas sur la droite ^ := o, et que le point x =: z = o ne soit pas sur les tangentes aux cycles. La droite X = Xo (ou x=:1Lqz) ne sera donc pas tangente aux cj^cles, et l'on pourra donner aux équations de c la forme canonique (3). Ses branches y^o, . • -, 'fir.-\ seront fournies par les formules (4), et le cycle sera représenté, après l'élimination du paramètre, par l'équation (5). Quant au cycle C, on pourra mettre ses équations sous une forme analogue
X = Xo -I- t\ Y rr. Yo 4- A ^« + Ao ^«04- . . . ,
et il aura R branches Hq, H,, ....
Les valeurs de t correspondantes aux points d intersection des deux cycles seront données par l'équation
Le nombre des racines nulles [lesquelles se changeraient en racines infiniment petites pour un autre cycle
infiniment voisin de c et ne passant plus par l'origine Xq, V n]
sera égal à l'ordre O du premier membre par rapport à ] 'infiniment petit t.
Or, si l'on remplace, dans cette expression, t par
auquel cas elle se réduira à
il est clair que son ordre en X — Xq sera devenu — • Donc O est égal à R fois l'ordre par rapport à X — Xo de la quantité
P(X, H,J = (H,„- -/îo). . .(H,„- Yî,,) ou à l'ordre du produit
7«=:0 Jn,n
Si les cycles c et G n'ont pas même tangente, a et A seront différents, et chacune des différences H^^i — t,„ étant de la forme (A — a) {IL — Xy) + . . ., l'ordre O du produit sera égal au nombre R/' des facteurs qui le composent.
Mais cet ordre s'élèvera si les cycles ont même tangente, car l'ordre de chacun des facteurs sera >> i . Pour l'obtenir, dans ce cas, il suffira d'évaluer l'ordre du produit
(IIq— -^0). • .(Ho — ■^,•-1)
et de le multiplier par R.
