Soit, pour fixer les idées
-^o=Yo+a(X — Xo)4-«o(X- Xo)~ + ...
celui des développements Tjo, v],, ... qui a, au début, le plus grand nombre de termes communs avec Hq. Supposons que la coïncidence se maintienne jusqu'au terme
(7.) a^(X-Xo)'-=:Af,(X-Xo)»^,
les deux termes suivants difï'érant soit par l'exposant, soit au moins par le coefficient. La différence Hq — Tjo sera de
l'ordre /, / désignant le plus petit des deux nombres -— -,
Ceux des développements r\j,i qui coïncident avec vjo jusqu'au terme (7) inclusivement donnent également des différences Ho — Yjw d'ordre /. Il est aisé d'en trouver le nombre. En effet, ?n doit être tel que l'on ait
ou
nid :SE o mod/',
d désignant le plus grand commun diviseur de ;'o, . • ., r^. Cette congruence admet h^ solutions, 8^,, étant le plus grand commun diviseur de /' et de d, ou, ce qui revient au même, de r, ro, ..., />.
Considérons, en second lieu, les développements r^m qui
coïncident avec yjq jusqu'au terme ax i (X — Xo) '' inclusivement, mais s'en séparent au terme suivant, A étant Fun quelconque des nombres i, 2, . . ., pi.
Il existe, d'après ce qu'on vient de voir, Sx-< développements r^nii où la coïncidence a lieu jusqu'à ce terme ; mais on doit en exclure ù\ pour lesquels la coïncidence subsisterait pour le terme suivant; il en reste donc o>4 — ôx, pour
chacun desquels Hq — 't\,n est d'ordre - •
Enfin il existera /' — ùq développements pour lesquels la séparation a lieu immédiatement après le premier terme
a(X — Xo), et pour chacun d'eux Ho — f\m sera d'ordre -^ •
COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. SyS
Nous obtenons ainsi la formule suivante :
0 = R (r-ô„)'^+^(oV,-o\)^+d^/ .
574. Les mêmes considérations donnent la solution du problème suivant :
Trouver V ordre Q par rapport àX — ^ Xq du produit
n(TQ,„— Y/„),
étendu aux diverses branches Tjo, ..., r\r-\ d^ un même cycle c.
Les deux différences 'f\m — r^n et r^mj^-k ~ ^ti+a, ne différant que par le changement de X — Xo en 0^(X — Xo), seront du même ordre ; Q sera donc égal à r fois l'ordre du produit
Or, parmi les différences ci-dessus, il en existe, comme on
l'a vu, /• — 80 qiii ï'Ont d'ordre —-, et généralement 8x, — Sx
r\ qui sont d'ordre — On aura donc ^ /•
Q = (A--ôo)A-o-h2(ax-,-ax)a.
Cette suite s'arrêtera d'ailleurs d'elle-même au bout d'un certain nombre de termes, car, les entiers /*, /'o, /^ , 7*2, ... ayant pour plus grand commun diviseur l'unité, les entiers 5 finiront par devenir tous égaux à l'unité.
On peut d'ailleurs remarquer que les seuls parmi les exposants /'o, r,, ... qui figurent effectivement dans cette somme sont ceux qui ne sont pas divisibles par le plus grand commun diviseur des précédents et de r (car, pour les autres, 8x-i = ûx). On leur donne le nom à' exposants caractéristiques.
