VIII. — Lignes continues. — Lignes rectifiables

96. Lignes continues. — Une ligne, étant définie comme le lieu des positions successives d'un point mobile, sera représentée, dans le cas du mouvement plan, par un système de deux équations

y* et cp étant des fonctions de la variable indépendante t, qu'on pourra considérer comme figurant le temps. Si ces fonctions sont continues, la courbe sera dite continue.

Supposons que t varie de la valeur initiale ^o à la valeur finale T. Si les valeurs finales de x^ y coïncident avec leurs valeurs initiales, la courbe sera fermée.

Plus généralement, si, pour plusieurs valeurs différentes de t, X et y reprennent le même système de valeurs, la courbe passera plusieurs fois par un même point, que l'on appellera point multiple.

La distance d'un point fixe (;, Tj) au point (^, J7, y) d'une ligne continue est une fonction continue de t\ si le point (^, yj) n'est pas sur la courbe, cette fonction ne s'annulera pas; elle admettra donc un minimum différent de zéro, qu'elle atteindra pour une certaine valeur de ^, et qu'on pourra appeler la distance du point (?, yj) à la courbe.

Soient de même (^, x, y) et (w, ç,?]") deux points pris respectivement sur deux courbes continues

•3^ = 7(0, / = 9(0 et ? = F(^^), Yi = 0(w).

Leur distance sera une fonction continue de t et de u. Si les courbes ne se rencontrent pas, elle atteindra, pour un certain système de valeurs de t et de w, une valeur minimum, cjui sera la plus courte distance des deux courbes.

97. Considérons enfin une courbe fermée G continue et sans point multiple, décrite en faisant varier ^ de ^o à T = ^0 + w. Elle sera caractérisée par deux équations

où les fonctions F et <ï> sont définies de t^ ïl tQ-\- w, et satisfont aux relations

A chaque valeur de t comprise dans cet intervalle correspond un point différent de la courbe, sauf les deux valeurs extrêmes t^ et t^-i- to, qui correspondent au même point.

Soient /(t) et o(t) deux fonctions respectivement identiques à F{t) et à ^(t) dans l'intervalle de t^ k to-\- to, et définies pour les autres valeurs de t au moyen des relations

Ces nouvelles fonctions seront continues, et les équations

où t varie de — oo à +00, représenteront encore la même courbe ([ue précédemment, décrite une infinité de fois, de telle sorte qu'à chaque point Xj y de la courbe correspondent une infinité d'arguments t différant entre eux de multiples de to.

Cela posé, soient

(t^x^y) et {t'^x'^y') deux points variables pris sur une même courbe C continue et fermée, sans point multiple; A = y/(j^' — xy^-hi^y' — y)- leur distance; t' — t =z h la différence de leurs arguments.

Ces arguments n'étant déterminés pour chaque point qu'à un multiple près de to, on peut évidemment les choisir de

telle sorte que li ne surpasse pas — en valeur absolue. On

peut admettre, en outre, qu'il est positif, en échangeant au besoin les deux points x^ y et x' ^ y'.

92 PREMIÈKE PARTIE. — CHAPITRE I.

D'après les propriétés des fonctions continues, on pourra, quelle que soit la quantité positive a, déterminer une autre quantité ,3 telle que, pour toute valeur de II moindre que ,3, on ait

.\x'-x\<^^, iy^|<iL, d'où A<a,

Donc, si h tend vers zéro, il en sera de même de A.

Réciproquement, si A tend vers zéro, il en sera de même pour h. En effet, A est une fonction continue de t et de A; car la différence entre la distance des points /, t -\- h et celle des points t-\-dt^ t -\- dt -\- h -\- dh est au plus égale en valeur absolue à la somme des distances du point t au point t^dt et du point t -y- Ji au point t -\- dl -^ h -\- dh^ lest[uelles distances tendent vers zéro avec dt et d/i. D'autre part, A ne s'annule que pour h = o. Donc, parmi tous les systèmes de points ^, t-\-h^ où h n'est pas inférieur à une quantité fixe j3', il en existera un pour lequel A prendra une valeur minimum ol' différente de zéro. Donc, quel que soit d'ailleurs ^, A ne pourra s'abaisser au-dessous de a' sans que /i s'abaisse au-dessous de [i'.

Si donc A tend vers zéro, h tendra également vers zéro, et, par suite, la distance du point t à un point quelconque de l'arc compris entre les points /, t -^ h tendra aussi vers zéro.

Soit donc £ un infiniment petit. Si l'on inscrit à la courbe G un polygone fermé P = ^o • • • ii^i+i • -- ^oi tel que chacun de ses cotés ait une longueur au plus égale à e, chaque point p de l'arc de courbe qui joint les points ^/, /,,, sera à une distance de ses extrémités au plus égale à o, o désignant un nouvel infiniment petit dépendant de £, et sa distance à un point quelconque q de la corde titi^i sera moindre que 28.

98. Or on peut toujours inscrire un semblable polygone. 11 suffit, en effet, de prendre les différences ti^^ — ti des arguments de deux sommets consécutifs suffisamment petits pour que les cordes titi^i aient toutes une longueur au plus égale à £.

Si le polygone P ainsi construit présente des points multiples, on peut le remplacer par un polygone plus simple jouissant des mêmes propriétés. Supposons, en effet, que les deux côtés titi^^ et thtk^^ se coupent. On aura évidemment

Donc l'une au moins des deux distances tit^^ ^i+t^A^.t sera <£; et en substituant à la ligne brisée titi^^. . .t^ la droite titfi^ ou à la ligne brisée ti^^. . .tktk^\ la droite ^/^i ^a+m on aura un polygone P< ayanl moins de côtés que P, mais dont les côtés auront une longueur au plus égale as.

Répétant au besoin cette réduction, on finira par arriver à un dernier polygone P' n'ayant plus de point multiple.

99. Ce nouveau polygone P' divise le plan en deux régions, l'une extérieure, l'autre intérieure.

INous allons établir qu'il existe toujours un point />, situé dans la région intérieure, et dont la plus courte distance à P' surpasse une quantité fixe, différente de zéro.

Soient, en effet, A =(^0? -^o^ /o) et B = (^4,^,,y,) les deux points de la courbe G pour lesquels x atteint sa plus petite valeur Xq et sa plus grande valeur x^. La courbe sera formée de deux arcs, l'un allant de A en B, l'autre revenant de B en A.

Considérons sur ces deux arcs deux points [t^x^y) et {t'^x\y')^ dont les abscisses soient comprises entre ^o H- |^ et x^ — p, [^ étant une quantité fixe arbitraire, moindre que

'- La distance de chacun de ces points à l'un quelconque des points A, B étant ^ ^, les différences des arguments, t — ^0^ i{ — t^ i' — ^1, ^o + w — i' 1 surpasseront une quantité fixe y; et, comme l'argument varie de co quand on décrit la courbe entière, on en conclut que t' — t est compris entre 2 y et w — 2 y. La distance des points ^, t' ne pourra donc s'abaisser au-dessous d'une quantité fixe d.

Cela posé, la distance entre deux points choisis à volonté

sur deux portions correspondantes de la courbe C et du polygone P^ est < 2ô. On pourra donc déterminer sur P' deux points A.', B', dont les distances à A, B soient respectivement < 2§; et le polygone se composera également de deux arcs polygonaux, l'un allant de A' à B', l'autre revenant de B' à A'. Prenons respectivement sur ces deux arcs deux points (i,7j), (ç',7j'), dont les abscisses soient comprises entre Xq-^ '^ -\- 2.6 et ^, — ^ — 28. Il existe sur la courbe des points t, t' dont les distances à ces deux-là sont <C 20; leurs abscisses seront comprises entre Xq-\- p et .r, — 3; leur distance sera donc ^d^ et la distance des points (i, rj), (^', 'f\') sera ^d — 4^? quantité qui deviendra, lorsque 8 décroît, plus grande que <:/< , <i, étant une quantité quelconque moindre que d.

Cela posé, coupons le polygone réduit par la droite

X = Les points A' et b' n étant pas du même cote

de cette droite, elle traversera chacun des deux arcs A'B' et B'A' en un nombre impair de points. En remontant cette droite à partir de l'infini négatif, on sera d'abord en dehors du polygone. Au premier point d'intersection, on entrera dans l'intérieur; on en ressortira au second, et ainsi de suite.

Supposons, pour fixer les idées, que la droite en question traverse d'abord l'arc A^B' en m points consécutifs, puis l'arc B'A' en n points, puis l'arc A'B' en m' points, etc. La série des nombres m, /i, m', . . . contiendra au moins deux nombres impairs. Soit, par exemple, m' le premier nombre de cette nature que contient la série. Le nombre m -\- n -+- m' étant impair, le tronçon de droite contenu entre le (m-|-/iH-/n')"''"^ point d'intersection et le suivant sera intérieur au polygone; d'ailleurs, ses deux extrémités sont l'une sur l'arc A'B', l'autre sur l'arc B'A'.

Considérons un point quelconque de ce tronçon de droite. La somme de ses distances aux portions g et q' des lignes polygonales A'B' et B'A' comprises entre les deux abscisses ^04-^ + 28 et Xi — [i — 28 est au moins égale à la plus courte

vartabi.es réelles. 95

distance de ces deux lignes, qui est >- <^i . Or, lorsque le point se déplace sur le tronçon de droite considéré, sa distance à ^, d'abord nulle, varie d'une façon continue et devient plus grande que d^ . Il existe donc sur cette ligne un point />,

où cette distance devient égale à — • La distance de ce point

a q sera >> —

D'autre part, l'abscisse de ce point étant égale à — î^,

sa distance à un quelconque des autres points des lignes A'B^ ou B'A', dont l'abscisse est moindre que x^-^^^i^ ou plus

grande que ^4 — ,3 — 28, sera au moins égale à — î — ^ — 28,

quantité qui, pour û assez petit, devient plus grande que

toute quantité 6/2 inférieure à — ? — j3. La plus courte

distance du point considéré au polygone P' sera donc > /, / désignant la plus petite des quantités ^ d^ et d^,

dOO. Cela posé, le lieu des points du plan qui sont à la distance 20 d'un côté du polygone P' se compose de deux droites égales et parallèles à ce côté et de deux demi-circonférences reliant leurs extrémités. Traçons ces droites et ces cercles pour chacun des côtés de P'. L'ensemble de ces lignes auxiliaires décomposera le plan en un certain nombre de régions. Considérons, en particulier, celle de ces régions qui contient le point p. Elle est intérieure à P', et tous les points de son intérieur seront à une distance de P' plus grande que 20. Elle sera limitée par un contour fermé R sans point multiple, dont chaque point sera à la distance 28 de P'. Le cercle de rayon / — 28, décrit du point p comme centre, sera en entier dans son intérieur. Au contraire, tous les points de la courbe C lui seront extérieurs, car leur distance à P' est < 28.

Décomposons le contour R en éléments de longueur <C2 8 par des points de division «, a', d\ Soient ab^ a! b\ . . .

96 PREMIÈRE l'AHTIE. — CHAPITRE I.

des droites de plus courte distance menées de ces points au contour P^ Ces droites auront 20 pour longueur commune. Elles ne peuvent rencontrer sur leur parcours ni R ni P'; car, si cela avait lieu, on aurait sur R un point dont la distance à P' serait << 2S. Elles resteront donc dans Fespace annulaire compris entre R et P'. Enfin, elles ne peuvent se couper mutuellement; car, si ab et a' b' ^ par exemple, se coupaient en un point de leur parcours, on aurait évidemment

ab' -{-a' b <. ab -^ a' b' <, ^S]

l'une des deux distances ab', a'b serait donc << 28. On aurait donc ici encore, sur R, un point dont la distance à P' serait

Il est maintenant aisé de montrer que tous les points de la couronne circulaire comprise entre les contours P' et R sont à une distance infiniment petite de la courbe C.

Considérons, en effet, la portion de cette couronne comprise entre deux lignes de plus courte distance consécutives ah et a' b'. Supposons que b soit situé sur le côté titi^i et b' sur le côté t/<{ th du polygone P'. La distance rectiligne du point ti à un point quelconque de la ligne brisée ttbaa'b' t^ (et en particulier au point t^) sera moindre que

ti b -h ba -{- aa! + bb' -h b' t/, < i o ô.

Sa distance à un point quelconque de l'arc de la courbe C compris entre ti et t^ sera donc moindre qu'une quantité '-^{o) infiniment petite en même temps que 0. Mais un point quelconque de l'arc polygonal qui joint ti et th est à une distance moindre que 20 de l'arc correspondant de C. Si donc nous traçons, de ti comme centre, un cercle de rayon o(S)-rioo, il contiendra à son intérieur toute la région du plan limitée par les contours P', R et les droites ab, a' b' .

Donc tout point de la couronne comprise entre P' et R sera 'à une distance moindre que cp(o)-H-ioo de l'un des sommets ti, et a fortiori de la courbe C, sur laquelle ils sont situés.

Le contour R est formé de lignes droites et d'arcs de cercle. Mais à chacun de ces derniers on peut substituer un polygone inscrit dont les côtés soient assez multipliés pour que tous ses points soient à une distance de l'arc de cercle moindre que la plus courte distance de R à C et à P'. On obtiendra ainsi un polygone S uniquement formé de lignes droites et jouissant des mêmes propriétés que R, à savoir : 1° il n'a pas de point multiple; 2° il contient à son intérieur un cercle de rayon fini; 3" P' et C lui sont extérieurs; 4° tout point de l'espace annulaire compris entre P' et S est infiniment voisin de C.

101. On pourrait considérer de même, parmi les régions dans lesquelles le plan est décomposé par les lignes droites et les cercles auxiliaires, celle qui enveloppe toutes les autres et s'étend à l'infini. On verrait aisément, par des considérations toutes semblables à celles que nous avons développées, que tous ses points sont à une distance de P' plus grande que 2ô; qu'elle est limitée par un contour fermé R', sans points multiples, enveloppant le polygone P' et la courbe C, et dont tous les points sont à la distance 2 S de P'; que tous les points de l'espace annulaire, compris entre IV et P', sont infiniment voisins de G; enfin, qu'on peut remplacer R' par un polygone S' exclusivement formé de lignes droites et jouissant des mêmes propriétés.

102. Il est donc établi qu'on peut, quelle que soit la quantité 7), trouver deux polygones S, S' sans points multiples, intérieurs l'un à l'autre, entre lesquels la courbe se trouve contenue, et tels que chaque point de l'espace annulaire qui les sépare soit à une distance de G moindre que y).

Soient A, )/ les plus courtes distances de ces polygones à la courbe G; r,, une quantité moindre que A et V. On pourra trouver deux nouveaux polygones S,, S',, intérieur et extérieur, dont l'écartement à la courbe soit <; yij ; ils seront évidemment compris entre les deux autres,

Continuant ainsi, on pourra former une série de polygones intérieurs de plus en plus grands S, S^, . . ., et une série de polygones extérieurs S', S'^, ..., comprenant toujours entre eux la courbe G et s'en rapprochant de plus en plus.

Les points du plan seront de trois sortes :

1° Ceux qui, à partir d'un certain terme de la série, deviendront extérieurs aux polygones S', S, , ... ; on les nommera/>om^5 extérieurs à la courbe;

2° Ceux qui sont intérieurs à partir d'un certain moment aux polygones S, S(, ... ; on les nommera /?om^5 intérieurs à la courbe;

3" Ceux qui sont intérieurs à tous les polygones de la suite S', S',, . . ., mais extérieurs à tous les polygones S, S<, .... Ces points, dont la distance à la courbe est moindre que toute quantité assignable, seront situés sur elle.

Il est donc établi que toute courbe continue C divise le plan en deux régions, l'une extérieure, l'autre intérieure, cette dernière ne pouvant se réduire à zéro, car elle contient un cercle de rayon fini.

103. Deux points intérieurs cj, cj' peuvent toujours être réunis par un trait polygonal intérieur à la courbe. Il existe, en effet, dans la série S, S<, ... des polygones intérieurs, un polygone S/ qui les contient tous deux. Par les points ^, q' ^ menons des droites quelconques qui coupent ce polygone en ;• et r' . Les droites qr^ ^'z*', jointes à l'un des deux arcs de S/ qui réunissent r à ;•', satisferont à la question.

Deux points extérieurs pourront être réunis de même sans traverser la courbe.

Au contraire, toute ligne continue D, qui joint un point intérieur ^ à un point extérieur q' ^ coupera nécessairement la courbe C. Soient, en effet, u l'argument dont la variation donne les divers points de D ; Mo, u' les valeurs de cet argument aux points q^ cj' .

Considérons l'ensemble des valeurs de u comprises entre ^Q et u' ^ Celles de ces valeurs qui correspondent à des points

intérieurs à C forment im ensemble borné. Soit U son maximum. Le point U, appartenant à la frontière entre les points intérieurs et les points extérieurs, sera sur la courbe G.

104. Une ligne L continue et sans points multiples, tracée dans l'intérieur d'un contour continu C sans point multiple et ayant ses extrémités sur ce contour, partage l'intérieur de C en deux régions séparées.

Plus généralement, considérons une région R du plan limitée : i" par n contours fermés sans points multiples G,, . . ., G«, extérieurs les uns aux autres; 'j.^ par un autre contour analogue Go qui les contient dans son intérieur. On pourra, sans partager R en régions séparées, tracer n lignes continues L,, ..., L,j, réunissant respectivement les contours Gi, ..., G„ au contour Gq. Mais, cela fait, toute nouvelle ligne continue L,;^.,, joignant deux quelconques des points frontières de R, divisera R en deux régions distinctes.

On exprimera cette propriété d'une manière abrégée en disant que V ordre de connexité de R est égal k Ji -\- i.

Ges propositions sont évidentes dans le cas où Go, G,, ..., G/i sont des polygones, et, si ces contours sont courbes, nous avons vu qu'on peut les considérer comme des limites de polygones.

lOo. GouRBES RECTiFiABLES. — Gousidérous uuc courbc définie par les équations

Soient ^0, t^^ ..., t,,^ T une série de valeurs du paramètre^; ^0 7 JKo ; ^oJKi 5 ... ; X, Y les valeurs correspondantes de x^ y. Le périmètre du polygone inscrit à la courbe, et dont ceg points sont les sommets, sera

(0 ^v/(^A+i -^A-r-^ (n-M -ykY'

Si cette somme tend vers une limite déterminée et constante, lorsque les intervalles t^^^ — t/^ dans lesquels on a

rOO PREMIËRE l'ARTli:. — CHAPITRE I.

divisé l'intervalle T — to décroissent indéfiniment d'amplitude, cette limite représentera la longue a?' de V arc de courbe correspondant à cet intervalle.

Pour que cette limite existe, il faut, en premier lieu, que la somme (i) ne puisse pas croître indéfiniment par un choix d'intervalles quelconque. Or l'expression

est au moins égale à |^A i-t — Xk\ et à |jKa+i — yk\^ mais ne peut surpasser la somme de ces quantités. Pour que cette première condition soit remplie, il est donc nécessaire et suffisant que les sommes

^k+\ —^kl - 1 VA-+1 — //, I

soient limitées et, par suite, quey(/) et 'f (^) soient des fonctions à variation bornée.

106. Supposons cette condition remplie, et soit L le maximum du périmètre des polygones possibles. Il faudra encore que le périmètre de tout polygone, pour lequel les intervalles tkjf.{ — tif sont suffisamment petits, soit aussi voisin qu'on voudra de L.

Glierclions à exprimer analytiquement cette condition. Nous savons tout d'abord (71) que les fonctions f{t -h 5), o(t + ù)j/ (t — o), o(t — o), où 0 est un infiniment petit positif, tendent vers des limites y (^ + o), cp(^ -|- o), /(^ — o),

delà posé, soit 1^ le périmètre d'un polygone II correspondant aux points de division ti, . . ., ^a, • . . et soit t un point quelconque intennédiaire entre tk et^A>,. Introduisons deux nouveaux points de division t — o et / + o également compris dans l'intervalle de t^ à ^a+j- Le nouveau polygone II' ainsi obtenu différant du premier par le remplacement de l'un de ses côtés par une ligne brisée, son périmètre P' sera ^P.

Introduisons le nouveau poiut de(li\ision t. Nous obtien-

VAIUABLKS HÉELLKS. 101

drons un troisième polygone II" qui diftere de 11' par le remplacement du côté qui joint les points /(^ — S), o{t — o) et /(^ 4- 8), o(t -\- 8) par les deux lignes qui joignent respectivement ces deux points au point y(^), ^{t)-

Supposons que S décroisse indéfiniment; lespoints/(^ — S), (o{t — o) et/(^ -f- o), C5(^ 4- S) tendront vers les points fixes f{t — o), cp(^ — o) el/(^ 4- o), o(t 4- o); et, si le point /(^), o(t) n'est pas sur la portion de droite qui joint ces deux points, nous obtiendrons, par l'adjonction du nouveau point de division ^, un accroissement de périmètre fini. Soit a cet accroissement. Le périmètre du nouveau polygone étant au plus égal à L, celui du polygone H ne pourra surpasser L — a, et cela quelque rapprochés que soient les points to^ ti, . . ., l/c, . . ., tant que le point t ne fera pas partie de cette suite.

Nous arrivons donc à ce résultat que, pour toute valeur de t comprise dans l'intervalle de /© à ^7 ^e pointy*(^), o(t) doit être sur le segment de droite qui joint les points /(^ 4-0), cp(^ + o)et/(^-o), cp(^-o).

107. Cette condition est suffisante. En effet, soit s. une quantité quelconque. On pourra déterminer une division en intervalles ôq, ^<, . . ., t/f^ . . ., T, telle que le périmètre P du

polygone correspondant soit ;> L

Soit toi ^\i ' • ■) ^ii ' •• "116 autre division en intervalles assujettis à la seule condition d'être tous moindres qu'une quantité fixe 8; nous allons montrer que, si 8 est suffisamment petit, le périmètre P' du polygone ainsi obtenu sera plus grand que L — t.

Considérons, en elTet, un troisième polygone obtenu en prenant, pourpoints de division, tous les points th et tous les

points t'- . Son périmètre P'^ sera ^ P > L

Evaluons, d'autre part, la différence entre P" et P', en supposant que S ait été pris < 8', 0' désignant le plus petit des intervalles ^^^, — //f, auquel cas deux quelconques des

lOT. PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

points tk seront séparés au moins par un point de la série t'-.

Soient 71 le nombre total des points de la première division; 7i' le nombre de ceux de ces points qui n'appartiennent pas à la seconde division. Soient, enfin, t/( l'un de ces derniers points, t- et t'■^^ ceux des points t' entre lesquels il tombe. Le côté t'■t'■^^ du polygone P' sera remplacé dans P" par les deux côlés t'-t^j h^'i+r

Or la distance t'^tk diffère de la distance {t^ — o, tk) d'une quantité au plus égale en valeur absolue à la distance (t'-, tk — o); de même ^a^/+, diffère de (^a, tk-\-o) d'une quantité au plus égale en valeur absolue à (4+n ^a + o); enfin t'-t'-^^ diffère de (^^—0,^^+0) [lequel est égala {tji — o, th)-{- {tk-i th -\- oj\ d'une quantité au plus égale en valeur absolue à (^^, tk — o) + (^^ + o, 4+i)- ^^ ^"^^ donc

Or les distances [t'-^ tk — o) et (^a + o, t'^^^ ) tendent vers zéro avec o. On peut donc trouver une quantité 8^, telle que, pour toute valeur de S inférieure à ô^, chacune de ces distances soit moindre que 7;—: on aura dès lors

t^i tk -i- tk t'ij^ 1 — t^i ^/+ , < — •

A chaque point tk delà première division qui n'appartient pas à la seconde, correspond ainsi une quantité 8^. Si nous prenons pour 8 une quantité moindre que la plus petite des quantités o,, . . ., o^, ... et S', nous aurons donc

d'où

108. Si l'arc de courbe compris entre les points ^0 et T a une longueur déterminée L et qu'on prenne un point t quel-

VARIABLES RÉELLES. Io3

conque intermédiaire entre ^o ^t T, les deux arcs partiels t^t et ^T auront également des longueurs déterminées U, L", et l'on aura

En effet, L est, par définition, le maximum du périmètre des polygones inscrits à l'arc IqT. Parmi ces polygones, il en est qui n'ont pas de sommet en t] mais, en intercalant ce nouveau sommet, on ne fait qu'accroître le périmètre. On peut donc, pour la détermination de L, ne considérer que les polygones qui admettent t pour sommet. Or ceux-ci sont formés de deux polygones, inscrits, l'un dans l'arc ^p^, l'autre dans l'arc tT . En appelant P, P', P'' les périmètres des trois polygones, on aura toujours

Donc, P étant limité, P' et P" le seront également, et L, maximum de P, sera la somme des maxima partiels L', L".

Il résulte de là que l'arc t^t^ où le point t est considéré comme variable de t^ à T, est une fonction de ^, essentiellement positive et croissante. Nous la désignerons par s. Cherchons quelles nouvelles conditions sont nécessaires pour qu'elle soit continue.

109. Lorsque t s'accroît de la quantité A, l'accroissement de l'arc est évidemment égal à la longueur de l'arc compris entre les points ^ et ^ -h A. Intercalons donc, entre ^ et ^ + A, une série de valeurs intermédiaires ^, , . . ., ^/^ ; écrivons, pour plus de symétrie, ^o et t,i^^ à la place de t et t -{- h\ l'accroissement cherché A5 sera le maximum de l'expression

lorsqu'on fait varier le mode de division de l'intervalle ; on

aura, par suite,

as- fit,) -fit),

Faisant tendre t^ vers t^ les secon"ls membres de ces inégalités tendront respectivement vers

/(^ + o)— /(O et 9(^ + 0) — 9(0.

Si donc ces expressions ne sont pas nulles, A5 ne pourra décroître indéfiniment avec A, et l'arc sera discontinu.

En changeant le signe de A, on verra de même que l'arc sera discontinu, si

f{t-o)-f{t) et o(^-o)-9(0

ne sont pas nuls.