Soit encore G un cycle ayant pour équations

cT : jv : 5 : : Tj : T, : T3

et pour origine le point (xq, jkqi -^o). Soit, d'autre part, /{Xj y^ z) = o une courbe algébrique. Les intersections de la courbe et du cycle seront données par l'équation

/(Ti,T2, T3) =0,

et le nombre de celles qui sont concentrées au point (xQ^yQ^ Zq) sera égal au nombre des racines nulles de cette équation, c'est-à-dire à l'ordre de/(Ti, To, T3) par rapport à l'infinimenl petit t. Ce nombre N se nomme Vordre de f{x^ y^ z) par rapport à C ; il sera nul, si la courbe ne passe pas par le point (:ro, jKo) ^o)- Dans le cas contraire, cherchons à le déterminer.

Soient c, , C2, ... ceux des cycles de / qui ont leur origine en (^0*^07 ^o)- Nous pouvons évidemment admettre que ce point n'est pas sur la droite 5 = o, et que le point x=zz =^ o n'est pas sur les tangentes aux cycles c,, C2, ... et C. Les cycles c<, C2, ... pourront être représentés par des équations de la forme

et l'on aura

f{x,y. z)^- z-f(X, Y, ,) -^ .«MP,(X, Y) P,(X. Y). . . ,

M étant une série de puissances de X et de Y qui ne s^annule plus à l'origine du cycle.

L'ordre de z et celui de M par rapport à C étant évidemment nuls, l'ordre de /'sera égal à la somme Û des ordres G,, O2, ... des cycles c,, C2, ... par rapport à C. Nous avons indiqué le moyen de les calculer (572-573). En particulier, si aucun de ces cycles n'a même tangente que C, ces nombres seront égaux à R/',, Rr2, ..., R, /'), /\., ... étant les ordres respectifs des cycles C, c<, Co, .... Leur somme sera R(7'4 -1- /'a + . . .) = R/>«, fn étant l'ordre de multiplicité du point {xq^ yo, Zq) sur la courbe/. ...

COURBES PLAiNES ALGÉBRIQUKS. 677

576. Soient enfin deux courbes algébriques/(^, /, i;) = o et F(x,y^ z) =z o se coupant en un point (xQ,yo, Zq). Soient c<, c^, ... ceux des cycles de/, et C,, C2, ... ceux des cycles de F qui ont ce point pour origine. Le nombre des intersections de /avec F en ce point est évidemment la somme des nombres Q,, O21 • • • de ses intersections avec les cycles Cl, C2, . . ., c'est-à-dire la somme des ordres de /par rapport à ces cycles. Celle-ci, décomposée en éléments plus simples, sera égale à Sa^pOap, Oa^ désignant le nombre des intersections du cycle Ga avec le cycle cp. Si ces cycles n'ont pas de tangente commune, O^p sera égal au produit de leurs ordres R^, r^. Le nombre total des intersections sera donc, dans ce cas,

2Rar^=2Ra2/>=Mm,

M et m étant les ordres de multiplicité respectifs du point (iTojjKoi ^0) sur les deux courbes.

577. Appliquons les principes qui précèdent à la recherche de l'abaissement produit dans la classe d'une courbe / par la présence d'un point multiple A. Nous aurons à évaluer l'ordre de multiplicité de A comme intersection de /et de la polaire

àf o àf df

doc ^ dy ' dz

où a, p, y sont des arbitraires.

Supposons encore : i^ que A ne soit pas sur la droite ^ r= o ; 2" que les tangentes à / en A ne passent pas par le sommet :r = 5 ^= o. Les coordonnées (Xq, Yq) du point A auront des valeurs finies, et, les cycles Cj, c^, ... de / qui ont leur origine en ce point, n'ayant pas X — Xo pour tangente, leurs diverses branches auront des développements de la forme

(8) ri-Yo-hrt(X—Xo) --h «o(X--Xo)'- -+-....

Posons maintenant

On aura

et, en dérivant,

Ix'

dY'

Substituant dans cp et mettant z^^* en facteur commun, il viendra

où

<I.(X,Y)=(«-yX)g+(|3-yY)J+y«F.

Il faut trouver la somme des ordres de cp par rapport aux cycles c, , C2, .... Or ces ordres sont nuls pour le facteur c''~' , la droite 5 = o ne passant pas par l'origine du cycle. Quant au second facteur, cette somme sera égale, ainsi que nous l'avons vu, à l'ordre en X — Xq du produit

(I>(X.-Oo)^(X,rj,)...,

où Yio, rj,, ... sont les diverses branches des cycles c<, C.2, ....

On a d'ailleurs

M étant un facteur qui ne s'annule plus pour X -= Xo, V = y,). On en déduit, pour Y = t,o, [)ar exemple.

COURBES FLANES ALGÉBRIQUES. 079

Mo ne s'annulant pas pour X—- Xq. En substituant ces valeurs dans l'expression de <ï>, il viendra

cI>(X,r),0

(y X - a) -1^ 4- i3 — yrjo MoC^o - -^m) {'0, - ri,)....

Or le facteur entre parenthèses est de degré zéro, car, d'après la forme (8) du développement de r,o, ni cette expression, ni sa dérivée ne contiennent de puissances négatives de X — Xfl, et le coefficient du terme de degré zéro, contenant l'arbitraire ^3, ne s'annule pas en général; Mo est aussi de degré zéro. L'ordre de <E>(X, r^o) est donc celui du produit (''Oo — "^1 )('^o — '^2)- • • • Raisonnant de même sur chacun des autres facteurs <Ï>(X, r,,), ..., on trouve que l'ordre de multiplicité cherché est celui du produit des différences

(Considérons celles de ces dilï'érences où ru appartient à un cjcle Ca et r^/f à un autre cycle c^. L'ordre Oap de leur produit a été déterminé plus haut. Celles où r^i appartient à cp elr^k à Ça donneront encore un produit d'ordre 0^^. Enfin celles de ces différences où rj et Tj/f appartiennent à un même cycle Ca ont un produit dont l'ordre Qa a été également déterminé.

Le degré de multiplicité cherché sera donc

Dans le cas particulier où tous les cycles sont d'ordre 1 , et où leurs tangentes sont distinctes, les Qa seront nuls et les Oap égaux à Funité. L'expression ci-dessus deviendra donc 7n{m — i), m désignant le nombre des cycles ou le degré de multiplicité du point considéré.

o78. La somme des ordres d'un polynôme homogène o(x,y^z) de degré m par rapport à tous les cycles d'une courbe de degré n est é\idemment égale à mn^ nombre total des intersections des courbes/ et C5.

L'ordre du quotient de deux polynômes étant la différence

58o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

de leurs ordres, le théorème s'étend immédiatement au cas où (5 est une fraction rationnelle homogène.

En particulier, une fonction p rationnelle en X, Y étant rationnelle et homogène de degré zéro en x^ y, s, la somme de ses ordres sera nulle.

Enfin ce résultat s'étend encore au cas où cp contiendrait, //Y //^ V outre X, Y, les dérivées — ^j ;7\T' *' j ^^^i ^^ dérivant l'équation/(X, Y, i) r= o, on obtient pour -tc?^ ' ■ ' des expressions rationnelles en X, Y.

o79. Ce résultat, appliqué à la dérivée -jy^') va nous conduire à la détermination précise du nombre des inflexions d'une courbe donnée/.

Les coordonnées x^ 7, 5, dans les équations d'un cjcle, étant exprimées au moyen d'une variable auxiliaire ^, nous

devons tout d'abord exprimer -^^7^ en fonction des dérivées ^ aX-

x' ^ y'j 5', x", y" ^ z' prises par rapport à t.

On a tout d'abord

puis

-~ .vz'

z.r;"~.rz" --'

et, en substituant,

f/'\ zU

D désignant le déterminant

COIRBES PLANES ALGÉBKIQIES. o8 I

Calculons la somme des ordres de cette expression.

Pour le facteur s^, cette somme est 3^, n désignant le degré de /.

Soit, d'autre part, c un cycle de /d'ordre r et de classe p. On pourra, à cause de la sjmétrie de D par rapport aux coordonnées, admettre que ses équations sont réductibles à la forme canonique

(9) ^ rj : ^ :: Xo+ /'■ : Yo-H av -\- «-or+p-i-. . . : i.

Les seconds membres, substitués dans D, donneront un résultat de la forme

l'ordre de D par rapport à c sera donc 27- H- 0 — 3.

08O. Cherchons enfin l'ordre de (^zx^ — xz')'^ . On a, pour le cycle c,

— zf =—arr-'-h...,

--xz':=^rr-K

xy'

■-yx'~{aX,~Yo)rl'-''

La plus haute puissance de t qui entre en facteur commun dans ces trois quantités sera l''~*. La sjmétrie du système de ces expressions par rapport aux coordonnées montre que ce résultat subsiste pour tout cycle de f. Car ceux qui ne sont pas réductibles à la forme canonique (9) le seraient à une forme analogue où les variables seraient seulement permutées. On a donc, quel que soit le cycle considéré,

0,, ©2? ^3 étant des séries de puissances de t^ dont l'une au moins n'est pas privée de terme constant; et l'ordre de zx' — xz' sera égal à /• — i 4- 0)2, too désignant l'ordre de 02-

L'ordre de ; 7— par rapport à c sera donc

{^zx — xz Y

582 PIIEMIÈRK PAUTIK. CHAPITRE V.

La somme des ordres de -7^ P^^ rapport à tous les cycles dey étant nulle, on aura

les sommations étant étendues à tous ces cycles.

581. Il reste à déterminer la somme Scoj. Pour cela, considérons la courbe o, polaire réciproque de /, dont chaque point (w, V, iv) est lié au point {x^y^ z) par les relations

ox Oy ôz

Sur chaque cycle c de la courbe i\ -r-'» -t-"» -t~ seront propor- ^ ^ •' ' Ox- Oy ôz ' ^

tionnels kyz — zy', zx' — xz' ^ xy' — yx' et, par suite, à ë,,

par les équations

Il : V \ (ï- :: 0, : 0-2 1 03

et 032 représente le nombre des intersections de ce cycle avec la droite t' = o. La somme S(jJ2 est donc égale au nombre total des intersections de v et de cp, soit au degré de celte dernière courbe ou enfin à la classe v àe f.

Nous aurons donc, en remplaçant Swo par sa valeur dans l'équation (10),

ou, en décomposant la somme S(p — /■) en deux autres, l'une 2' relative aux cycles des points multiples, l'autre S" relative à ceux des points simples, et remarquant que pour ces derniers ;• = i ,

(II) r'(p-i) = 3(v-/o-:^'(P-/-)-

Or, pour un point simple, p représente éNidemment l'ordre de contact de la courbe avec sa tangente ; les points d'inflexion sont ceux où cet ordre est >> 1 . Si donc nous convenons de considérer ceux où ce contact est d'ordre \t. + i comme re-

COURBES PLAÎVES ALGÉBRIQUES. 583

présentant pi inflexions confondues, la somme 2"(p — i) ne sera autre chose que le nombre des inflexions, et ce nombre sera donné par la formule (i i).