III. Transformations birationnelles du plan

o82. Les transformations liomographiques sont un cas particulier de transformations plus générales, étudiées par M. Cremona, et dont nous allons dire quelques mots.

Considérons les courbes d'ordre n assujetties à avoir a, points simples, 7.2 points doubles, . . ., enfin a,„ points multiples d'ordre m, donnés de position, et dits points fondamentaux^ les entiers a,, . . ., cf.m satisfaisant aux deux équations de condition

k^0Ck^=^ /i^

La sujétion d'avoir un point donné de multiplicité k

s exprimant par équations linéaires et homogènes

par rapport aux coefficients, les courbes cherchées contien-

dront encore ^ > — ^ a^ = o coelti-

cients arbitraires, dont elles dépendent linéairement. Leur équation sera donc de la forme

/,, /a, y'3 étant trois courbes particulières du réseau. Nous admettrons que les polynômes/, , fy, /;t n'aient pas de facteur commun.

Posons

fx-îi-îi

X'- /- -S x\ y\ z' désignant des indéterminées.

Les polynômes /,, /2, /a étant d'ordre n, les deux courbes /i /2 A __ /a

se couperont en n'^ points ; mais un seul de ces points variera avec x\ y', z . En effet, soit p l'un des a^ points fondamentaux d'ordre k. Etant multiple d'ordre k sur chacune des deux courbes, il représente k- intersections. Le nombre des

intersections fixes de position sera donc ^/r^a^ ou n} — i.

Soit (.^, y, z) le dernier point d'intersection, variable avec

x^ ^ y'j z' ; ses coordonnées —, ~ s'exprimeront rationnelle-

ment en ^î ^par des fractions qu'on peut réduire au même dénominateur; on aura, par suite,

^ :/:-:: cpi : 9-2 : 93,

^ii ^2i ^3 étant des polynômes homogènes en x' ^ y\ z' et de même degré.

Nous obtenons ainsi une liaison hirationnelle

oc \ y \ z V. j\ \ ji\ fz'>

qui, à chaque point (^,y, 2), fait correspondre un autre point (^'',y, 5'), et réciproquement.

583. 11 y a une exception pour les points fondamentaux; car, f\ij\if^ s'y annulant, les rapports de x' ^ y', z' ne sont pas déterminés. A l'un de ces points correspond une courbe, dite fondamentale, de la manière suivante :

Considérons un point

infiniment voisin du point fondamental (a, b, c). Soit /l'ordre de multiplicité de celui-ci : /<, /a, /a et leurs dérivées par-

COURBBS PLANES ALGÉBRIQUES. 585

tielles, jusqu'à l'ordre i — i inclusivement, s'y annuleront; on aura donc

et de même pour /2, /s. Si donc A, k tendent vers zéro, de

telle sorte que leur rapport tende vers un nombre fixe ~j

les quantités x' ^ y', z', proportionnelles à/,, f2, /a, le deviendront à la limite à

Le point {x' ^y\ z') ainsi obtenu dépendra du rapport - •

En faisant varier celui-ci, il décrira la courbe fondamentale. Cette courbe est d'ordre «, car elle coupe une droite

dx' -\- '^y' -^^z' =^ o en i points, dont les paramètres -

sont définis par l'équation de degré i

da ' db

Chaque point de la courbe fondamentale correspond, comme on le voit, au point (<2, 6, c) et à une direction particulière issue de ce point.

Aux points [x'^y' , z'), communs aux trois courbes cp, = o, cpa=o, ©3=0, correspondront de même une infinité de points (x,y, z) formant une courbe.