Un cycle C, défini par les équations

a: : / : s : : j^o + «1 ^ -+- • • • : j'o -h ^^ / + . . . : zç^-i-cit-h. . .,

aura pour transformé un cycle G' de la forme X .y . ^ . , 11. 1 2 . 1 3,

Ti— /i(^o-+-«i^ + . ..,7o4- ^^4-. ... -u-4-Ci^-f-...) — /i("^o, Jo, Zo)-h \if-i-.. .

Le cycle G' aura pour origine le point transformé de (xo^yoy z-o)^ à moins que ce dernier point ne soit fondamental.

Dans ce cas, /ij/'a? /s s'annulant en ce point, les fonctions T,, T2, T3 contiendront, en facteur commun, une puissance, de ;, qu'on devra supprimer pour avoir les véritables équations du cycle G'.

58o. Nous allons faire quelques applications de cette théorie.

Supposons d'abord que /, , /2, /a soient des fonctions du premier degré : il n'y aura pas de point fondamental, et la transformation

.r' : y : .3' : : a .r -:- (3/ + y j : a' .r -H p'y -i-y' z: od' X + 3'' j' 4- y" z

sera homographique.

Un cycle G, ayant pour équations

^' : / : - : : Xo + ^'' : Y^ -f- air + «o ^'"^ -h • • : i^

aura pour transformé le cycle G', défini par les équations

.X . j . ^ , . 1 j . 1 2 . 1 3 , où

T, = a Xo-hi3 Yo4-y 4- (a -h |3 a)r+|3 a^t''<^-^. . ., T,= a' Xo+ (3' Yo4- y' + (a' 4- (3' a^V ^ [3' a,t/.^. . .

T3=a"Xo4-3"Vo4-y"4-(a"4-|3"«)r4-[3'^ao^'-o + ...

Ge cycle sera d'ordre /', comme G, et sa tangente

a;' a Xo 4- [3 Yo 4- y a -h (3 a y' a'Xo4-?'Yo4-y' a'4-(3'^ .V a"X,4-[3"Yo-i-y" a"4-|3"«

sera la transformée de la tangente à G.

Substituons, en effet, à .x', y' ^ z' les quantités proportionnelles oLx -\-^^y -Y- Y^, 'J.'x + j3'j + y'^, :^' X + j3"j/ -|- -f z.

Le déterminant ainsi obtenu sera le produit du déterminant

qui n'est pas nul, par le déterminant

qui n'est autre que le premier membre de l'équation de la tangente à C.

11 résulte de là qu'à tout point p d'une courbe d'où partent un certain nombre de cycles C, C| , . . . d'ordres /', ri , . . . correspond, dans la transformée, un point p' d'où partent autant de cycles, également d'ordres ;*, /-, , .... De plus, si les tangentes à quelques-uns des premiers cycles coïncident, il en sera de même pour les cycles transformés.

La classe de C'est aussi égale à Vq — /•, comme celle de C; car le déterminant

a Xo4-[3 Yo+y

a'Xo + ;3'Yo-f-/

ol'

a'^Xo-i-.6"YoH-y"

;st pas nul.

086. INous allons enfin établir que C! a les mêmes exposants caractéristiques que C.

Soient, en effet, 5 = /(j, l'un de ces derniers; 8 le plus grand commun diviseur de /', Tq, ..., /'jx-j- Si nous mettons à part dans la suite af^ -\- a^L^o-^- . . . les termes dont l'exposant est divisible par S, on pourra la mettre sous la forme

aV'-^ a^r -{- . . .-^ a,j^ f/'^ + . . .

= At''-i- Al C'^^ -t- A2 ^'"+2 ' 4- . . . H- oAo ^^■ 4- . . . ,

A, A', étant égaux à a, a^, et les autres coefficients A,, Ao. pouvant être nuls, en tout ou en partie.

Le cycle G', transformé de G, a pour équations

où

T, = ^;+ i^r-4-BiZ'-+s + .

T2 = /;-+-G^'-+Ci/'-^M-.

Tj^^; 4-D/'-+Dir+S^.

en posant, pour abréger,

x'^^ — a Xo+P Yo+y, 7; = a'Xo4-P'Yo^y',

B =a + (3A, Bi=(3Ai,

G ^a'H-p'A, Gi-[3'A„

Dî> — (3X,

(Ô =:p"Jl,,

Le déterminant

G G D tD

a Xo-+-(3 Yo+y

(3 olo

a'Xo-H(3'Yo-f-/