PM

a"Xo4-(3"Yo4-y"

(3'Mo

sera d'ailleurs ^ o, car ciU = a,x n'est pas nul.

En outre, l'un au moins des nombres x'^^ y'^^^ z'^ pas nul. Soit, par exemple^ ^o<^- Posons

n est

et cherchons à développer les expressions X' — X'^, Y' — YJ, suivant les puissances croissantes de t. Posons, pour abréger,

œ'^ 4- B r -f- Bi t'-^^ 4- . . . = M, 111)^*4-. . .— M',

tD^^•4-...--N'.

On aura

M + M^ __ £0 M f£ -a M^l^ — MN^ N -hiN' -; " N ^; "^ N(N.-f-N') ■

Le développement de -|^

ri Zq

forme

où le premier coefficient E est égal à

- est de la

Celui de -rr-z-r ^77 est de la rorme

N(N -f-iN')

ou

Ct'-h...,

On a donc

X' --X',-Et'--^E,t'-^^-\-. . .-^ Cl-^- -^. . . .

On trouvera de même

Y'- y; zrr FZ'-4- Fi/'-+^^4-. . . -h é?'^^- + . . .,

OU

c^%-D.r; ^e^;-(Dy;

Le déterminant

z, D efc)

est d'ailleurs ^o.

Ainsi, dans les développements de X' — X'^ et de Y' — Y'^, 5 est le plus petit exposant non divisible par 8, et le déterminant E# — CF n'est pas nul.

Nous allons voir que ces conditions sont suffisantes pour que s soit un exposant caractéristique pour le cycle G'.

En effet, l'un au moins des coefficients E, F, par exemple E, n'est pas nul. Posons, pour ramener les équations du cycle à la forme canonique

t' étant un nouveau paramètre; et faisons

L'équation précédente deviendra après division par t'^

^'--i-EiE '• ^'^5'-+û + ...

-f- CE '^t'^-'^B'^... )

Dans le développement de h tiré de cette équation, mettons en évidence les termes dont l'exposant est divisible par S; on pourra écrire

Ô = 14- Gi t'^-^ G, ^'25 ^ . . . 4 g^

et, m étant un entier quelconque, on en déduira un développement de la forme

fj'>'~ 1 4- lii^'^^-h H.U'-^ -^. . .+ mCIt"^-^-

Substituons ces valeurs de 6 et de ses jjuissances dans l'équation précédente; nous en déduirons les valeurs de a- et de CJ. En effet, le premier terme du développement de

!9'--hEiE"~^^'S0r+ô.,___

dont l'exposant ne soit pas divisible par 8 sera /'{]t'^. Dans celui de