ciC'-t'-'-'-e'-i

le premier terme de ce genre sera CE '' t!^~^. Ces deux termes devant se détruire, on aura

COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. SqI

On aura donc, pour t^ une expression de la forme

^ = E ^7'[i -f- Gi ^'S 4- . . . + (/i'*-''H- . . .],

où ^ est défini comme ci-dessus.

Substituons cette valeur dans l'expression de Y' — Y'^. Le premier terme d'exposant non divisible par S dans le développement de

sera

FE-i^">g^'^-'==:— Fv^E~'"'~^'^

Dans celui de cî^^^ + . . ., ce sera #E '' t^\ Ces deux termes réunis donneront un terme en ^'^, dont le coefficient

E~'~^(#E -Fi:) — .•>

sera différent de zéro.

On aura donc avec le paramètre t' ^ pour X/ - X^ et Y' — Y'^, des expressions de la forme

Y' — Yo = U"'4- Ii^'^-^^-f-. . .^■^t''-\-.,..

Donc 5 sera un exposant caractéristique pour le cycle C.

Gomme on peut d'ailleurs revenir de G' à G par une substitution homographique, on voit que, réciproquement, tout exposant caractéristique de G' le sera aussi pour G.

587. Passons à l'examen des transformations dites quadratiques, Qyxf^^f^-ifz sont des courbes du second degré. On aura trois points fondamentaux. Soient A = o, B = o, G = o les équations des droites qui les joignent deux à deux ; /<)/2) /a seront des fonctions linéaires des produits AB, BC, GA.

Soit

/,=raiBC + j3iGA4-yiAB,

La transformation considérée

résulte évidemment de la composition des trois transformations suivantes :

r:r]':-c'::YîC:ç^:?^,

dont la première et la dernière sont homographiques; quant à la seconde, c'est une transformation quadratique particulière, que nous allons étudier.