Remplaçons^ pour revenir aux notations habituelles
ï, Yi, Ç, ?', V, K' par ^, y, z, x', y' z' ] nous aurons
ol' : /' '. z' '.', yz : zx : xy.
On en déduit sans peine
La relation entre les deux séries de variables est donc réciproque.
Les points fondamentaux sont les sommets du triangle de référence. A chacun d'eux correspond, comme ligne fondamentale, le côté opposé du triangle. Supposons, en effet, que
y et z tendent vers zéro, leur rapport tendant vers —; -^y
=~7 tendront respectivement vers o et y- Le lieu des points
limites pour les diverses valeurs de — sera donc la droite
jc' = o.
COURBES PLANES ALCrÉBRrQUES. SqS
Un cycle G ayant pour équations
cT : / :. ^ : : Xq + f : ¥„ -h af -h «o ^''° -+-•••!!
aura pour transformé le cycle C défini par les équations
ou
Ti=:Yo-f-a^'-+«oro4-...,
T2 = Xo4-r,
Réciproquement G sera le transformé de G'.
589. Pour la discussion que nous allons faire, nous distinguerons cinq sortes de cycles :
i'' Cycles G dont l^ origine n^ est pas sur le triangle de référence. — On a, dans ce cas, Xo^o, Yo^o. Le cycle transformé G', ayant son origine au point (Yo, Xq, Xq Yq), qui n'est pas sur le triangle, sera de la même sorte. Il est aussi d'ordre /•, et a pour tangente la droite
y' Xo
z' XoYo Yo+aX,
a\lœ'-Yly'-^{Y,-~a\,)-:'.
?." Cycles G dont l'origine est sur un côté du triangle (^ =: o par exemple), mais n'ont pas ce côté pour tangente. — On a dans ce cas
Xo=:0, Yo>0,
et le transformé G' aura pour équations canoniques
.rJ - T, " '
•L =z -^ -r= r[Yo+ «r+ a,t'-o-i-., .]-» X 1 1
594 PREMIÈRE PARTIE. CHAPIÏHE V.
Il a pour origine le point y'= -s' = o, et pour tangente la droite z' = YqJk'j ^ui n'est pas un côté du triangle. Son ordre est ;-; sa classe est également/-, si a^o, /-q, si a= o; mais, en aucun cas, elle ne sera moindre que j\
Enfin, si /'jj. est un exposant caractéristique de G, c'est-àdire tel qu'il ne soit pas divisible par le plus grand commun diviseur o de /', ^o, /'i, • • ., /'(x-o ^^ premier terme dudévelop-
pement de *^, dont l'exposant n'est pas divisible par o sera
— ■^i^i^'^^', a fortiori, r^+ r ne sera pas divisible par le
plus grand commun diviseur des exposants précédents; ce sera donc un exposant caractéristique pour C.
3'* Cycles G dont V origine est sur un côté du triangle (^y-=LO par exemple) qui leur est tangent. — On a, dans
ce cas,
Yo=a = o, Xogo, Tj = a„ To 4- . . . ,
T2=Xo4-r,
L'origine de G' est au sommet ^'zz=5'=o. Une droite z^ — X^'=:o passant par ce sommet coupera le cycle aux points définis par l'équation
(Xo+r-/0(«o^''''-f-...) =^o,
laquelle a /'o racines nulles et en acquiert /'o+ /' si A= Xo. L'ordre du cycle est donc /'o, sa classe /• est moindre que son ordre, et il a pour tangente la droite z' — Xo^'= o, qui n'est pas un côté du triangle.
4^ Cycles G dont V origine est à un sommet (.r = )^ = o) du triangle, les côtés n'étant pas tangents. — G'est le cas où Xo = Yo = o, <2^o. Les polynômes T, , To, T^ deviennent, après suppression du facteur commun t^.,
COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 5g^
L'origine du cjcle C sera au point (<7, i, o) sur le côté z'= o du triangle, et deux cas seront à distinguer suivant que la classe Fq — /* du cjcle C sera au moins égale à son ordre /•, ou moindre que r.
Dans le premier cas, G' sera d'ordre r et aura pour tangente la droite
ax' — a- y
ou la droite
Ces droites ne sont pas des côtés du triangle : G sera donc de l'espèce 2.
Remarquons encore que, si r^ est un exposant caractéristique de C, /[x — /' sera un exposant caractéristique de C. Car, r, /\), . . ., rfj^ ayant un plus grand commun diviseur 8 qui ne divise pas r^^ le premier exposant non divisible par 8, dans les développements de T, — a et T3, sera r^^ — r.
En outre, les coefficients de ^'>~'' dans ces développements seront respectivement a^^ o et ne sont pas proportionnels à ceux des termes de moindre degré en t, qui sont
o, Gy
Donc /'jx — /• sera un exposant caractéristique.
Passons au second cas, où /q — /" -< /'• L'ordre de C sera /'o — 7', moindre que l'ordre de G, et la tangente sera le côté 5'=: o du triangle : G' sera donc de l'espèce 3.
5" Cycles C dont V origine est en un sommet {x =y = o)
5gf6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
et ayant un côté (y = o) pow tangente. — C'est le cas où Xo= Yo = ^ = ^- T-6 cycle G' aura son origine au sommet x' =:z z' =^ o\ son ordre sera j\ — r ei z' =^ o sa tangente. Il sera donc, lui aussi, de l'espèce 5.
590. De ce qui précède résulte la possibilité de changer une courbe quelconque /:, par une suite de transformations quadratiques, en une autre courbe n'ayant que des cycles du premier ordre, et dont les tangentes aux points multiples soient toutes distinctes.
Soit, en effet, p un point de la courbe, qui soit l'origine de cycles d'ordre supérieur à i. Considérons un triangle 5 = 0, T, = o, s = o, dont le sommet (ç = o, -/^ = o) soit en/?, les autres sommets n'étant pas sur A*, et dont les côtés ne passent par aucun autre point multiple de k et ne soient pas tangents à cette courbe. On peut, par une substitution homographique, transformer respectivement les droites ^ = o, r, = o, Ç = o en ^ = o, r = o, -3 = o.
Les cycles de la courbe A^, transformée de A', auront respectivement les mêmes ordres et les mêmes coïncidences d'origine et de tangente que ceux dont ils sont transformés, et A*! aura avec les côtés jr = o, j^ = o, 2 3= o les mêmes relations que k avec ^ = o, r, = o, t^ = o.
Effectuons maintenant sur k^ la transformation quadratique particulière que nous venons d'étudier. Un point q de kx non situé sur les côtés du triangle sera transformé en un autre point où passent le même nombre de cycles, du même ordre, et avec les mêmes coïncidences entre leurs tangentes. Il n'y a donc rien de changé de ce côté.
Considérons en second lieu les cycles dont l'origine est sur un des côtés du triangle, sur ^=0 par exemple. Ils sont par hypothèse du premier ordre et, leurs origines étant différentes, les quantités Yq, . . . correspondant à ces divers cycles sont distinctes. Enfin, ils ne sont pas tangents à ^' = o; leur ordre ne sera donc pas altéré par la transformation; leurs transformés seront du premier ordre ; ils ont tous leur origine
COURBKS PLANES ALGÉBRIQUES. 697
eny = o, ^ = o, mais leurs tangentes
sont distinctes.
On introduit ainsi un nouveau point multiple, mais à cycles d'ordre i et à tangentes séparées.
Passons enfin aux cycles C dont l'origine est au sommet x=y = o; chacun d'eux est transformé en un cycle ayant son origine sur z = o; ceux dont les tangentes sont distinctes auront d'ailleurs des transformés d'origines distinctes. Si la classe /'o — r du cycle C est moindre que son ordre /■, celui-ci sera abaissé par la transformation. Dans le cas contraire, l'ordre se maintiendra; mais une autre simplification se produit : les exposants caractéristiques du cycle sont tous diminués de a- par la transformation, ainsi que nous l'avons vu.
591. En soumettant la courbe /c', transformée de /f, , à des opérations analogues, on pourra donc, sans accroître l'ordre d'aucun des cycles, ni introduire aucune nouvelle coïncidence simultanée d'origine et de tangente, abaisser progressivement les exposants caractéristiques du cycle choisi, jusqu'au moment où, ceux-ci ne pouvant décroître indéfiniment, l'abaissement portera sur l'ordre du cycle. Poursuivant encore, on finira par rendre celui-ci égal à l'unité.
On choisira ensuite un des cycles restants, pour le réduire de même, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on n'ait plus que des cycles d'ordre i .
592. A ce moment, on pourra encore avoir des cycles ayant à la fois même origine et même tangente ; mais la continuation des opérations fera disparaître ces coïncidences.
Soit, en effet, G un cycle d'ordre i, dont l'origine soit en X =JK = o et qui ne soit pas tangent à^=:oniàjK=o. Ses équations seront
ou
SgS PREMIÈRE PAHTIE. — CHAPITRE V.
Un autre cycle D d'ordre i et de même origine aura pour
équation
Ils auront même tangente si d^^=C\^ et, en général, un contact d'ordre m, si
Si G et D ont un contact d'ordre m, les transformés par la substitution quadratique que nous considérons auront encore même origine, mais un contact d'ordre m — 1 seulement.
On a, en effet, pour le transformé de G,
Tj — c, -hC2^ -h. . ., T2=:i, T^—Cit -h (\J^-f-- ",
d'où, en posant —, = X', —j=i7J^
Résolvons la dernière équation par rapport à ^; il viendra
et l'on déterminera les coefficients A en substituant cette valeur dans l'équation
Z' = Cl ^ + C2 ^- -h . . .
et identifiant les deux membres. Les |j, premières équations, qui déterminent \^^ . . ., \^^ ne contiennent que les [Ji coefficients c,, . . ., c^\ A,, . • -, )v,x en dépendront donc exclusivement.
Substituant la valeur de t dans l'expression de X', il viendra
les coefficients A,, . . ., A„, ne dépendant que de C|, . . ., c',„. Si l'on opérait de même sur le transformé de D, on obtiendrait pour X' un développement analogue coïncidant avec le
COURBKS PLANES AI GÉBRIQllES. 599
précédcnl en vertu des relations (i) jusqu'aux termes d'ordre m — I, mais différant par le terme d'ordre ni.
On pourra donc abaisser progressivement l'ordre des contacts entre les cycles jusqu'à les faire disparaître totalement.
