Supposons, au contraire, qu'on ait

ce qui exprime que f{t) et C5(^) sont continues. L'arc s sera lui-même continu.

En effet, on aura (72)

y*4, ^2, 0|, cp2, étant des fonctions continues et non décroissantes. On aura, par suite,

VARIABLES RÉELLES. Io5

Or chacun des quatre termes de cette exprei-sion tend vers zéro avec h, puisque /<, /o, cp,, cp2 sont des fonctions continues.

Nous nommerons courbes rectlfiahles celles dont l'arc a une longueur déterminée, fonction continue de t. D'après ce que nous venons de voir, on les reconnaît à ce caractère que les fonctions /(/) et o{t) sont continues, et à variation limitée.

m. Si les fonctions y(^) et c£>(^) ont des dérivées continues au point ^, l'arc s aura lui-même une dérivée, égale à

On a, en effet,

/(^A + ,)-/(^/.)=:/'(T/.)(/a-^1 -^A-), 9(W,) — Cp(^/,)=r(p'(T:,)(^A.+I — ^/,),

Ta et Zj^ étant compris entre tu et ^^^i et, a fortiori, entre t ett-\- h.

On en conclut

Or v//"(^^)H-?''('^a) diffère de v//'(0 + ?"(0 ^'^^e quantité au plus égale en valeur absolue à

D'ailleurs les fonctions/' et ^' sont continues; donc, en prenant ]i assez petit, on pourra rendre |/'(ta) — /'(0| ^^ \^'{'^'k) — ?'(0l lïioindres qu'une quantité positive quelconque £.

On aura donc

Donc sera compris entre

et

Multiplions indéfiniment les valeurs intermédiaires /,, ..., ^A, . . . ; la somme (2) tendra vers y > qui sera encore compris entre les deux nombres ci-dessus.

Si h décroît indéfiniment, on pourra faire tendre en même temps £ vers zéro, et l'on aura à la limite

H2. La région R du plan intérieure à une ligne recti-

fiable (fermée et sans point multiple) est toujours quarrable.

Partageons, en effet, le périmètre L de cette ligne en arcs

égaux de longueur-, et décomposons le plan en carrés de

côté — • 11 est évident que chacun des n arcs obtenus ne

pourra rencontrer plus de quatre de ces carrés. La somme des aires des carrés qui rencontrent la frontière de R est

donc au plus égale à An —- =1 . Cette expression tend

^ ° n- ji ^

vers zéro quand n croit indéfiniment; R est donc quarrable.

113. Une courbe dans l'espace peut être représentée par trois équations

Elle sera continue, si les fonctions/", es, 'i le sont.

VARIABLES RÉELLKS. IO7

Nous appellerons longueur d'un arc de cette courbe la limite dti périmètre d'un polygone inscrit.

Des raisonnements identiques à ceux des n°^ lOo à 111 montrent :

1° Que pour que cet arc s existe et soit une fonction continue de ^, auquel cas nous dirons que la courbe est rectifiable, il faut et il suffit que/(^), cp(/), ^(^) soient continues et à variation bornée ;

2° Que s est une fonction croissante de ^;

3° Que si/(/), o(^), ^{t) admettent au point t des dérivées continues, s admettra une dérivée, égale à

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