Logarithme. — On donne le nom de logarithme
108 PREMikllE PARÏIK. — CIIAPITHI- 1.
arithmétique de x à la fonction définie par l'équation
Loer^
r da.
la variable x étant supposée positive.
Cette fonction a pour dérivée — et s'annule pour x=^\ .
Elle est d'ailleurs croissante.
On a, d'après cette définition, y désignant une seconde variable positive,
/T ^^^y ^^^ ^y /T JT
<;/Los xy =i — — =. 1 ^ = rf J^os:^' + a Loi? y,
^ " xy X y ^ '
d'où
Log^y =r Log^ -+- Logr 4- C.
Pour déterminer la constante C, posons :r = i , j^ = i ; les logarithmes s'annulent tous; donc C = o, et
(l) Log^J rr:: Log^ -h Logy.
Pour la valeur particulière y = -? cette équation devient
(2) Log^+Log— = 0.
Si X tend vers oc, il en est de même de son logarithme. Soit, en effet, a un nombre quelconque >> i ; dès que x sera devenu plus grand que a", on aura
Log^ >- Logrt"> /i Logrt,
quantité qui tend vers oc avec /i, Log« étant positif.
Si X tend vers o, Log^ tendra vers — c» en vertu de l'équation (2).
116. Exponentielle. — Le logarithme de 57, étant une fonction croissante, ne reprend pas deux fois la même valeur. Il a donc une fonction inverse. On la nomme fonction
VARIABLES RÉELLES. TOQ
exponentielle, et on la représente par e^ . Cette fonction est ainsi définie par l'équation
X — Log/.
Elle croît avec x^ est égale à zéro pour :r = — oo; à i pour X ^=.o\ à 00 pour X ■=z-\-ro. Pour ^ = i , elle prend une valeur déterminée e, que nous calculerons plus tard. Elle a pour dérivée
dx dx dy Donc
Posons enfin dans la formule (i)
d'où
Log
Logy =
On en
déduit
Log^y
et, par
suite,
En [)articulier,
si
— w, il
viendra
117. Fonction x"^. — Nous désignerons par le sjuibole x"^ la fonction définie par l'équation
(6) ^. . ^mLo!ï.r^
X étant une variable positive.
Si m est un entier positif, elle est, d'après la formule (4)?, le produit de m facteurs égaux à e^"°*^ ou ^; si m est négatif,
ce sera le produit de m facteurs égaux à — • Si m est une
fraction — ? on aura, en élevant l'équation (6) à la puissance g,
Donc y sera la racine positive de l'équation binôme cidessus. Celte racine positive, évidemment unique, se nomme la racine q'*''^^ arithmétique de xP.
Généralement, y = x^"- tendra vers o, i, -i-oc lorsque mluO^x tendra respectivement vers — oo, o, +00. Si donc on suppose m positif et croissant indéfiniment, ^r'" tendra vers o ou vers 00 suivant que x <ii ou :r ^ i .
On a évidemment
(q\ X^^ X^^ 3= ^/« LogjTg/i Log^r __ ^(m + rt)Log.r — - r^m+ii
/ g \ / 2^ni \ii -j^-. on Log a'» - oinn Logv — — j^mn
On trouve enfin, en appliquant la règle pour dériver les fonctions de fonctions,
formule qui n'avait été établie jusqu'à présent que pour m entier positif.
J 18. Fonctions tri^onomé triques. — Les fonctions sino:, cos^, tang\r, cot:2? étant définies comme dans les éléments, il est aisé de déterminer leurs dérivées.
Remarquons d'abord que, si l'on change x en x-{- A, les accroissements de sin^ et de cos.r seront les projections de l'arc h sur les deux axes coordonnés, et leur module ne pourra surpasser h. Donc sin^ et coso^ sont continus.
On a en second lieu
2 sin — =r corde n<C h <i "2 lanff — » 2 ° 2
d'où
. h . 2 sm — h 1
CCS - < -—- <i.
Si h tend vers zéro, cos - tend vers i ; donc
. h 2 sin -
lim ; — =1.
Cela posé, on a
i,. sin(.x -]- h) — sin^r (sinjs)' = lim j-^ h . h 2sin- = hm ■ cos { œ -\ — =: cos^
et, par suite,
(il) (cos^)' = sln( .z- J == — cos ( .27 j == — sin^r,
, , ,, /sin.27 \' cos-.r -hsin^^a? i
(i2) (tangir)'= =
\COSJ7/
