X. — Dérivées et différentielles d'ordre supérieur

I23. Soit ii==zf(^x) une fonction de œ^ ayant une dérivée u'. Si cette nouvelle fonction admet elle-même une dérivée, on la représentera par ?/, f"{x) ou D-w et on l'appellera la dérivée seconde de u.

La dérivée de u' sera Ja dérivée troisième de «, et se représentera par it!'' ^ f"'i^) ou D^ u ; et ainsi de suite.

La différentielle a' dx de la fonction u est une nouvelle fonction de x dont on pourra chercher la dilférentiellc. Cette nouvelle dillerentielle dépend de la relation qu'on voudra établir entre la variable x et l'accroissement dx qu'on lui fait suhir.

Or soient D le domaine dans l'intérieur duquel /(j;) est supposée définie ; E l'ensemble des points intérieurs dont l'écart à la frontière est moindre qu'un nombre fixe 0; pour tous les points de E, on pourra, sans risquer que x + dx sorte du champ, assigner à dx une même valeur constante de module <C^? dx étant ainsi constant dans E, la différentielle de u' dx y sera égale à u" dx.dx = u" dx-. Cette expression se nomme la différentielle seconde de w, et se représente par d- 11.

Si l'on fait décroître 0 indéfiniment, E s'étendra de manière à englober succcssi\ement chacun des points intérieurs à D; ce qui permettra d'étendre la définition précédente de d- u à tout l'intérieur de D.

De même, d- u aura une difiérentielle d'' dx'^ \ ce sera la différentielle troisième de w, et on la représente par d'' II.

VAHIABLRS HÉELLES.

Continuant ainsi,

on aura

du =: u' dx,

d-u —u"dx\

, du dx

d^u dx^

ii5

dx''

Chacune des dérivées successives de u est ainsi un quotient de différentielles, ce qui donne une nouvelle manière, très souvent employée, de représenter ces quantités.

121. Si l'on donne à x un accroissement A^, la fonction y*(^) prendra un accroissement

que nous appellerons la différence première àef{x).

La différence de la dilFérence première sera la différence seconde, et se représentera par \^/(x)^ et ainsi de suite.

Posons, pour aljréger l'écriture,

f{x-{-nAx)=f'.

On aura, d'après la définition précédente,

(!) fa^Jn-X^^Jn-X

ou symboliquement

(2) /"= (I 4- A)/«-i= (I 4- A)V«-2:=. . ..= (1 4- A)"/ On aura réciproquement

et généralement

(3) AV=:/^4- A/"-i 4- B/«-2 4-. . .4- K/o, A, B, . . ., R étant des coefficients numériques.

Il6 PREMIÎÎRF PARTIE. — CHAPITRE I.

Pour les déterminer, prenons la différence des deux membres de l'équation (3). Il viendra

A"+yo = A/" + A A/«-^ + . . . 4- K A/0.

Mais l'équation (i) peut être mise sous la forme symbolique

Done

A«+i/o^ (/-i) (/"+ A/--^ 4- . . . + K/o) r= (/- ,)A«/^ On aura donc, en changeant n en n — i , . . .,

(4) AV"=(/-OA'-V« = ...= (/-i)"-'A/o=(/-i)'%

pourvu que, le développement effectué, on remplace le dernier terme ( — i)" par ( — 0"/*^-

125. Les signes d'opération D et A peuvent être permutés entre eux; car on a évidemment

= D /(^-hA^) — D/(^) = AD/(^).

En posant, pour plus de clarté,

on aura donc

G»la posé, appliquons à la fonction o(x) la formule A/(^) =/(^ -H A^) -f{jc) = Xxf{œ -^ e A,r),

6 étant compris entre zéro et i .

11 viendra

^''f{œ) = A^9' {x -\-Qùix)— A^.A«-y (^' -4- 0 ^x).

On aura de même

VAHIABLES RÉELLES. II7

9, étant compris entre o et i ; et, par suite,

A"/( -^ ) = A.T«/« ( ^ 4- 0 A.r -H ^1 A^ 4- . . . ) = A.r«/''(j- 4- ^ AcT),

^ étant compris entre o et /?.

Divisant par ^x" et faisant tendre \x vers zéro, on aura à la limite, sif'^(x) est continue,

A" f( t) (5) /"(.r) = lim^-^^"^