Posons

Ai/(-^, y ) ^/(^, .r + ^r) — /(•^. y)-

On aura évidemment

( =rAA,/(.r,/).

Il8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

Posons, pour plus de clarté,

On aura

AAi/(^, y) =z o{jr -\- A^, y) — ©(.r, y) -- a>^(^ 4- ^ Ajs-, y ) AcT

= [/i(^ + OA^v, y 4- Ay) -f'^{x + h A^, r)] A^ ~ f"xy{^ H- ^ A^,y -h ^1 Ay) Ay A^.

Donc

AAi/(^, y) A:r Ay

=/iy (^ + ^ ^-^^ 7 4- ^1 Ar).

Si la fonction /^^, est continue au point x^ y^ on aura, en faisant tendre Ax et Ay vers zéro,

(7) /;,(.,^) = ,i™^^Lg£iZ).

Siy^.ç(j7, jk) est continue au point x^ y, on trouvera de même

et, en vertu de l'égalité (6),

Nous obtenons donc le théorème fondamental suivant :

Théorï:me. — Si les dérivées partielles f'xif'yifxy^fyx existent aux environs du point x^ 7; si, de plus, y*J^, f'[^ sont continues en ce point, ces deux dérivées partielles seront égales.

On voit par là que deux dérivations successives, opérées par rapport à deux variables différentes x^ y, peuvent (sous les conditions précédentes) être interverties sans changer le résultat final. On en déduit

dx'" df" ôxi\ . . ~' dx"'-^f'-^-- dy

YAUIABLES RÉELLKS. l IQ

en opérant d'abord toutes les dérivations relatives à x^ puis celles relatives à y.