Considérons maintenant la différentielle totale

.. df . df , -^ âx ày -^

de la fonction f(x, y). Lsl différentielle de cette différentielle, prise en supposant dx et dy constants, se nomme la différentielle seconde de/, et se désigne par d'-f. La différentielle de <i-y" sera la différentielle troisième d'^f^ et ainsi de suite.

On a, d'après cette définition,

z=z —4 dx- + 2 , -, f/z^^ dy 4- -T-^ f/v- 6/cr- (jx ay dy "

et, plus généralement,

^)nl f Ain f

d'" f = -~L da-m + m f— - dx'" "^ dy -\- . . .

ôx'" ôx'" ^ dy -^

ni{m~i)...{7n — n-^i) ô"\f ^^^^, ,^ , (Vf

fjym^y

120 PREMIÈHE PARTIH. — CllAPITHE l

OU, SOUS forme symbolique,

Cette formule étant vérifiée pour d/el d-f, il suffira d'établir que, si elb^ est vraie pour un nombre m, elle sera vraie pour m H- I .

Pour cela, différentions cette formule. Nous obtiendrons évidemment un résultat de la forme

d"'^'/~-^ 'Ldx"'-^' 4- A, ^ f dx"' dy -^...

Am-^\ f "^ Am-^\ f

Il reste à vérifier l'expression des coefficients numériques A.

Or, le terme général

A„ >- —^ — dx'"-^^ » dy''

provient de la dilïérentiation par rapport à x du terme en dx"'^~'^ dy"^ de l'expression de d'^^f et de la difi'érentiation par rapport à y du terme précédent. Ces termes ayant respectivement pour coefficients

mi m — 1 ) , . . ( m — /« H- i ) m {m — i ) • • • ( /" — f^ + ^0

et ■ ; ^ ,

K,i sera égal à la somme de ces deux quantités, soit à ni{ni — \). . .{ni — /i -h 2 ) ^ m — n ~\- i

ce qui confirme la formule.