Soient u et v deux fonctions d'une c^i de plusieurs

VAUIABLKS RÉELLES. 121

variables. On aura généralement

/ d"'{uv) -- V d'" a -f- m d'"-^ u dv -h . . .

En eflet, \u et Ac étant les accroissements de u et de v^ on aura

A(w(') = (// -f- A/^) ((^ 4- A(0 — "<' — ^'^^' + w ArH- Aw A(^

Négligeant le terme du second ordre Aw Ar, et remplaçant A^^, Ar par leurs valeurs principales du et d<^^ on aura, pour valeur principale de A//r,

duc ^=^ç du 4- // r/r,

ce qui confirme la formule pour m ^= i .

D'ailleurs, en la supposant démontrée pour le nombre m, on verra, comme précédemment, qu'elle est vraie pour ni -}- i.

131. Plus généralement, soit \ =f(^u, v) une fonction quelconque de u et de c, u et i^ étant encore des fonctions d'une ou de plusieurs \ariables indépendantes ^, y. Proposons-nous de déterminer les différentielles successives de V.

On a pour la difierentielle première, ainsi que nous l'avons vu,

OU av

Pour calculer la différentielle seconde J-V, il faudra diffé-

rentier cette expression. Or -f^ et -^ sont des fonctions de u,

^ ou o^

(', ([ui ont respectivement pour différentielles

—^ du -h -^-Ar- dv, -^-^ du -+■ --4 dv. ou^ ou o\' au ov ov-

D'aulre part, du^ dv dépendent de ^,y, ... et ont, par délinition, pour différentielles d- u^ d^v. Appliquant la règle

T22 PREMifcRi; PAHTIE. — CHAPITUE I.

Iroiivëe pour différentier un produit, il viendra donc

d'-W — -r^,du -f- -T-^d^' dii + ~-^du -h —V dv dv \du- aiiôv I \dudv âv- J

-^ -^d'u-h -f d- V au Ov

— —4 diC' 4- 2 -.—4- du dv {--rr- di- 4- -f-r/2 u-\- ^ d' r. OU' ou (Jv âv Ou âç

Une nouvelle différentiation donnerait o?^ V, et ainsi de suite.

On voit, par les formules qui précèdent, que dY a la même forme que si u^ v étaient des variables indépendantes; mais il n'en est pas de même des difierentielles suivantes : d^\ , par exemple, contient des termes en d- u et rZ-c qui n'existeraient pas dans cette lijpotlièse.

XL — Changements de variables.

132. On a souvent l'occasion de substituer aux variables qui figurent dans une formule de nouvelles variables ajant avec les premières une liaison connue. Nous sommes actuellement en mesure d'indiquer les règles à suivre pour effectuer cette opération lorsque les fonctions à transformer contiennent des dérivées. Nous allons les exposer en commençant par les cas les plus simples.

Théorî:me 1. — Soit y=F(j7) une fonction de x

ayant pour dérivées successives —-, -r-r,-> • • • Supposons

que x^ au lieu d^ être une variable indépendante, soit luimême fonction d'une nouvelle variable /, et soient x' ^ x" ^ . . . , y' iX" -, > . . les dérivées successives de x et de y par rapport à t.

On demande de trouver les relations qui existent entre dy d^y „ j,

dx dx-

on

y étant, par rapport à t, une fonction de fonction, on aura, par la règle connue,

Dérivant de nouveau par rapport à t, en remarquant que

dy

-j- est une fonction de x^ qui est lui-même fonction de ^, on

aura

y - dx'^" ^ dœ"" ' Dérivant encore, on trouvera

^ - dx'"" ^^ dx' '''' ^ dx^"^ '

fi \' fi 1/

Résolvant ces équations par rapport à -j-^ '3~1 ' trouvera réciproquement

^ ' dx x'' dx- " x''^

On remarquera qu'en appelant d^ x^ d\ .r, . . . , d^y^ d\y les différentielles successives de x et de y par rapport à la nouvelle variable ^, on aura

"^--df ^-^' ^-'lïF'

d'où

dy y[__ dyY

dx x' d^x

Donc la dérivée de jk par rapportât reste égale au rapport des différentielles de x et de y, quelle que soit la variable indépendante.

L'expression des dérivées suivantes est au contraire changée. On aura, par exemple,

dx- di x^

12/4 PUKMlkRE PARTIE. — CHAPITRE I.