Si la variable x tend vers une limite c différente

de zéro, — tendra vers la limite -• X c

Posons, en efl'et, Xa — c = ^n ; on aura

Cn

K-|K- + ^.>l^le|t|c|-|;„|)

quantité qui deviendra <; s, dès que n sera devenu assez grand pour qu'on ait

|ep£

In <

Si X tend vers la limite zéro, on pourra, quelle que soit la quantité positive E, déterminer un nombre v tel que l'on ait, pour toute valeur de n plus grande que v,

d'où

Donc — ne tend vers aucune limite. Nous conviendrons tou-

tefois de dire qu'il tend vers oo.

Si, en tendant vers oo, x reste à partir d'un certain moment constamment positif, on dira qu'il tend vers H- oo. S'il reste constamment négatif, il tendra vers — ce.

13. Soient x, y deux quantités variables simultanément, et prenant respectivement les suites de valeurs Xi, y^\ ... ; Xni yn\ Si x^ y tendent respectivement vers

l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

des limites finies c, d, oc-\-y et xy tendront vei's les limites c -{- d^ cd.

Posons, en effet,

On pourra, par définition, quelle que soit la quantité positive 5, déterminer deux quantités v, et V2, telles que l'on ait

\ln\< 0, si n > Vi,

I ^in I < ^, si /l > V2,

et, par suite,

U«|<â, h„| <<5, si /i>v,

V désignant la plus grande des quantités v, et V2. Cela posé, on a

I ^n -^yn—{c-^d)\ — \ in + '^i« | ^ U« | "H h„ | < 2 Ô,

I '^ny,i— cd\ — \ cr,„ + d\„ 4- In'ri,, \

l\c\Un\-.\d\\U\-^\U\\rin\

<|6'|ôH-|^|âH- a-.

Les seconds membres de ces inégalités seront <^ s si l'on détermine l'arbitraire 8 de telle sorte qu'on ait en même temps

Notre proposition est donc démontrée.

Si X tend vers oo, y continuant à tendre vers une limite finie <f, on pourra, de même, quelles que soient les arbitraires E' et 0, déterminer un nombre v tel que l'on ait

|^„|>E', \y^^.-d\<à, si /i>V,

d'où

\^n + yn\ — \^n-^yn—d-\-d\ = \x„\ — \yn—d\-~\d\

si l'on choisit E' plus grand que E4-o + |c^|. Donc, dans ce cas, X -[-y tendra vers oo.

VARIABLES RÉELLES. l5

Le produit xy tendra aussi vers oo, si d n'est pas nul. En effet, choisissant pour ô une quantité -< | t/|, on aura

d'où

\yn\t\d\-à,

et enfin

si l'on choisit E' plus grand que y-r, ^•

Si y tendait vers zéro, en même temps que x vers oo, on ne pourrait rien affirmer a priori.

Supposons enfin que x ^l y tendent tous deux vers oo. On ne pourra rien affirmer a priori sur la somme x -{-y. Mais le produit tendra évidemment vers oo.

14. De la combinaison des résultats qui précèdent on déduit immédiatement la proposition suivante :

Soit R(:r, jK, . . .) une expression rationnelle quelconque des variables x, y, .... Si ces variables tendent simultanément vers les limites c, «?, . . ., R(.r, y^ . . .) tendra vers la limite R(c, âf, . . . ).

Ce théorème est toutefois soumis à cette restriction que la suite des opérations indiquées pour calculer R, connaissant x^ y^ ..., puisse s'exécuter effectivement pour les valeurs particulières x ^=^ c^ y ^=^ d., ....

Si donc parmi ces opérations figurent des divisions, il faut que le diviseur ne soit pas nul.

15. L'Arithmétique et l'Algèbre comportent quatre opérations fondamentales : addition, soustraction, multiplication et division. On peut en concevoir une cinquième, consistant à remplacer une quantité variable par sa limite. C'est l'introduction de cette nouvelle opération qui caractérise le Calcul infinitésimal.

l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

16. Infiniment petits. — On donne le nom di infiniment petit à toute quantité variable qui tend vers zéro ; celui dî' infiniment grand à toute quantité variable qui tend vers oo.

L'inverse d'un infiniment petit sera donc un infiniment grand, et réciproquement.

La suite des valeurs ^,, . . ., x,i^ . • -, qu'on assigne successivement à un infiniment petit :r, doit avoir, par définition, zéro pour limite; on peut ne la soumettre à aucune autre restriction. Mais on peut aussi, si l'on veut, l'assujettir à d'autres conditions : stipuler, par exemple, que ces quantités seront positives, ou rationnelles, etc. Sauf ces restrictions, qui devront être spécifiées dans chaque cas, on devra la considérer comme arbitraire.

17. Deux infiniment petits x^ y seront indépendants^ s'il n'existe aucune corrélation obligatoire entre les valeurs x^^ . . ., Xn^ ... et^i, . . ., jK«7 . - . qu'on leur attribue respectivement.

Au contraire, s'ils sont liés de telle sorte que, Xn étant connu, on puisse en déduire j^,;, on dira que jk est un infiniment petit dépendant de x. Cette dépendance sera, en général, réciproque, de telle sorte que, yn étant connu, Xn pourra s'en déduire.

Deux infiniment petits x^ y étant ainsi liés, on dira qu'ils

sont du même ordre, si, lorsque x tend vers zéro, — a pour limite une quantité constante c difFérente de o; jk sera

d'ordre plus élevé que ^, si — a pour limite zéro; il sera d'ordre moindre, si — tend vers oo.

On peut, dans la plupart des cas, préciser cette notion, en mesurant par un nombre l'ordre de grandeur d'un infiniment petit. On pourra dire, en elTet, que y est d'ordre a par rapport à x^ si le rapport -^ tend vers une limite finie et difFérente de zéro, lorsque x tend vers zéro.

VARIABLES RÉELLES. l']

D'après cette définition, une quantité^ qui tend vers une limite finie sera un infiniment petit d'ordre zéro; un infiniment grand r tel que yx^ tende vers une limite finie et différente de zéro sera un infiniment petit d'ordre — a.

Dans toute question où figurent plusieurs infiniment petits X, y, ^, . . . dépendant les uns des autres, on pourra choisir arbitrairement l'un d'eux comme étalon de mesure. Cet infiniment petit principal, x^ par exemple, étant considéré comme ayant pour ordre de grandeur l'unité, y^ z, . . . auront des ordres de grandeur représentés respectivement par des nombres a, p, ....

Le même procédé de comparaison serait applicable à des infiniment grands.

i8. Soient y un infiniment petit d'ordre a; A la limite

vers laquelle tend ^ quand x tend vers zéro. On aura

2L — A-{~ h, d'où y = Ax^-{-hx^,

h tendant vers zéro avec x.

Le premier terme A^^' se nomme la valeur principale dey. Il représente cet infiniment petit avec une erreur relative qui décroît infiniment avec x.

Si l'on veut ne pas se contenter de cette première approximation, on aura à déterminer la valeur principale du reste. Soit B.'tP cette valeur principale; nous aurons une seconde valeur

approchée jusqu'à l'ordre p. On chercherait de même, s'il était utile, la valeur principale du reste, et ainsi de suite.

La détermination des valeurs principales des infiniment petits et leur développement en série suivant les puissances (le l'infiniment petit principal, qui en est la conséquence, formeront en grande partie l'objet de la première Partie de ce Cours.

l8 PRKMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

La solution de ce problème fondamental fournit une méthode d'approximation précieuse dans toutes les applications des Mathématiques; mais là ne se borne pas son utilité : elle permet d'obtenir des résultats d'une entière rigueur, fondés sur la proposition suivante.

19. Le l'apport de deux infiniment petits du même ordre, y et z, ayant respectivement pour valeurs principe pales \x^ et ^x^ a pour limite -^•

On a, en effet,

y — œ^{K.-^h), s = ^'^(B-+-/0, h et k tendant vers zéro avec x. Donc