X -=^ -jT cos {y — p sin
y' z= -^ sin ^ -f- 0 cos 5, '^ d9 '
„ d^p , dp . . ^
œ"-=. -r^ cos'J — 2~sinC/ — p cosy, dB^ dQ
f, d^9 ' n dp ^ . -
r"= ■—- s\nd -i-'2 -jtCOsU — o sin 9
et
y" — y'x^^ziz I -^ cos^ — p sin0 j (-^ sin 04- 2-^ cosô — psin(5
gsin<? + pcos9jÇ-
do^ d'-p
135. o." Les deux vai^iables x et y étant liées par une équation, on demande d^ exprimer les dérivées x' ^ x" ^ . . . de X par rapport à y en fonction des dérivées y', y", . . . de y par rapport à x.
On a, par le théorème sur la dérivée des fonctions inverses,
Prenons la dérivée de cette équation par ^apport à la nouvelle variable indépendante^. En remarquant que j)^',j)", . . .
120 IMIKMIÈRE PARTIK. — CHAPITRE I.
sont des fonctions de x, qui lui-même est fonction de y, le théorème sur la dérivée des fonctions de fonction donnera
136. Les fonctions de plusieurs variables donnent lieu à deux questions analogues, que nous allons traiter.
Problème 111. — Soitz- une fonction de deux variables x, y. On pose x=^f{t^ u), y = '-^{t, w), t et u étant deux nouvelles variables. On demande d'exprimer les dérivées par-
. ,, dz dz â'z d'z d'z . . ,
tiettes -— > -— j -r-— j -7 — r— ? -r-;> ••• en fonction de t, u, ôœ a y ôc^ dx or a y
dz d^ ,)^
ôt'dTi' ât^' ""
z étant fonction de :r, y.^ qui sont eux-mêmes fonctions
de t^ M, sera une fonction composée de ces deux nouvelles
variables. Prenons ses dérivées partielles successives; il
viendra
dz dz ôx dz dy
, dl ~~ dx dt ^ dy ^'
^ ^ ^ dz^ (h dx dz^ dv
du dx du dy du
dz dz 1 r • 1
pins, en remarquant que — > — sont des lonctions de ./', y,
eux-mêmes fonctions de t et de u,
I d^ dt'
d'-z dx d'-z dy\dx dz d'-x
dx' dt dx dy dtjdt "^ dx dt^ d' z dx d'z dy\dy dz d'-y
dx dy dt dy- dt J dt dy df^ ^/drV- d'z dx dy , d'z / dy
dx^\dt ) "^ ^ dx dy dt dt "^ dy'- \ dt
dz d'x dz d'-y
dx dt'^ dv dt-
VAIUABI.ES HÉRLLES.
et
d~z d-z ô.r ô.v à' z / ôx dy dœ dy
dtdu~dx- dt du dxdy\dt du du dt d^z dy d£ dz d-œ dz^ d-y dy- dt du dx dtdu dy dtdu
d-z d-z (dxV- ^ d'-z dx dy d'z du'- ^ dx'' \du) ' ^ dxdy du du ' dy- '
(ày \du
dz d^x ^ dz d-y "^ dx du- ' dy du-
On calculerait de même les dérivées troisièmes, etc. Gela posé, les é({uations (3), linéaires en -y-. ? -p ? p
erme tient
d'exprimer ces quantités en fonctions <^lc -r^> -7- et des dérivées partielles de x et y^ lesquelles sont des fonctions con-
1 r^ -Il ' dz dz
nues de t, u. Portant ensuite les valeurs trouvées pour -7—5 -r—
' ^ dx dy
dans les équations (4), (5), (()), on pourra les résoudre par
rapport a --^ > -^ — ^j -—^\ de même ])Our les dérivées des ^ ^ dx^- dx dy dy- ^
ordres supérieurs.
Cette méthode est évidemment applicable à des fonctions d'un nombre quelconque de variables.
