Remarque. — On ne doit pas perdre de vue que la

dérivée partielle ~ d'une fonction de deux variables ^, y

est, par définition, la dérivée de z considéré comme fonction de x^ y restant constant. Si nous remplaçons j^ par o(.r, //), de telle sorte que les nouvelles \ ariables indépendantes soient X et w, la nouvelle dérivée partielle par rapport à x sera la dérivée de z par rapport à x^ a restant constant. J3e ce cliani,^ement de définition résulte naturellement un changement dans la valeur de cette dérivée partielle. Soit, par exemple, z =^¥{x^ y). On aura

i£ — 1^ dx dx

128 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITHR I.

Mais, après le cliangemenl de variable, on aura

138. Exemples. — i" Soient ^, j', z trois \arial)les indépendantes. Posons

j:=r. at 4- ^/< + ce, y :=^ a' t -\- b' a -+- c'c,

«, 6, c, ... étant des constantes choisies de telle sorte que la substitution soit orthogonale^ c'est-à-dire qu'on ait

Cette condition fournira le système d'équations suivant,

aZ>-hrt'^>'+«"^"=zo, bc -^b'c' ^b"c" r=zo,

Ca + d a' + 6'"«''' :::= O,

OU le suivant, qui lui est équivalent, comme on sait,

aa'

-y-bb'

-f- ce' = 0.

Soit maintenant V une fonction quelconque de x^ y.

VAUiAiJLKS iif:i;LLi:s. 129

Considérons les deux expressions

oyy /oyy /oyy o'-y o^y o'Y

Ox- Oy'^ ôz'

qui se présentent dans un grand nombre de problèmes, et que M. Lamé a nommées les paramètres différentiels du premier et du second ordre de la fonction V. Proposons-nous de les exprimer au moyen des dérivées parlielles de V par rapport aux nouvelles variables /, u^ v. On aura

^v ^;v ,(;v ,^ôy

ôt ôx ôy ôz

Ou Ox Oy Oz

»ôy ôy ,ôy „ôy

Ok^ Ox Oy Oz

zr: a (a ——; -h a' - — -- + a' —

\ Ox- ôx ôy ôx ôz J

\ OxOy ôy- <^fd--J

V ôx ôz àyOz ôz- J

= a--—-^-\~a----^^-a''--—ôx- ôy^ ôz-

~\- 2 aa' - — h 2 a' a" - — — + 2 a' a - — —

ôx ôy ôy ôz ôz Ox

ô^y ôii^

Ox- Oy- ôz-

-i- 2bb' r h ib h - — — -V- 'ib b - — —

Ox Oy ôy ôz Oz Ox

ôv'

ôx- Oy- Oz-

H- 2 ce - 4- 2C'C'" r-- + 2C C- — .

()x Oy ôy Oz Oz Ox

l3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

Ajoutons les carrés des trois premières équations. Il viendra, en tenant compte des équations (^),

/d\Y /dvy fâYy /dvy /dvy /àvy U) +U) + U) =(^) ^id^;:) -^(^) •

Les trois suivantes, ajoutées ensemble, donneront de même

La forme des paramètres différentiels rCcst donc pas altérée par une substitution orthogonale effectuée sur les variables, et c'est à cette circonstance que ces expressions doivent leur importance en Analyse.