Posons

a? = p sinôcos^, y = p sin6' sin^, 5i=:pcos6',

et proposons-nous d'exprimer les paramètres difFérentiels de V en fonction des nouvelles variables p, 6, ^.

Le changement de variables qui précède équivaut évidemment aux deux suivants, opérés successivement

^=/'COSt];, j-' = /• sint];, z z=z z

et

Efi'ectuons le premier changement de variables. 11 viendra

^V d\ , ÔV . , -— = — — cosu> 4- -T— sintl>, ôr ax * ôy *

-r-j- =1 — ;r— /• sin ù -1- -— /• ces d;,

d^ àœ ^ ôy ^

âr^ ôx' ^ ôxôy ^ ^ <)y' ^

-T-— - rzr — — - /•- Sin- Ù — 2 r- /- Sin dj COS U; H r— r /- COS" iL

^4^-^ dx' ^ dx dy ^ ' dy-

ÔY , ^V' . ,

r— r COSU> r— /' Slll Ol.

TARIABLES RÉELLES.

On en déduit immédiatement

fdvy I /^v\'- fâvy A

dwy

ï d'V i dV d^ â^

D'ailleurs, — — et -r— - n'ont évidemment pas changfé. Les

(Jz ôz- *^ ^

paramètres différentiels deviendront donc respectivement

(d\y- I /'^v\' fôY'

et

ôr- "^ /-^ 0^- '^ r âr "^ Oz'' '

Le second changement de variables qui nous reste à effectuer, à savoir

5 = pcos^, r =1 p sinO^ J; = ^J;,

n'altérera évidemment pas -rj, -y— et transformera respectivement

[■07) ^{-Tz

d'Y d''Y dr' "^ dz'

Enfin on aura les relations

fdYy j /dY\

dp'^ p- dd- p dp

dY dY , dW . , -r- — 1— cos y 4- -— sin y, do dz dr

dY

de

dY . . dY .

— — 0 sin c/ H — p COS&,

dz ' dr ^

d'où l'on déduit, en éliminant

dY . .

Qr dp

dY cosQ dY

l32 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

Substituant ces valeurs dans les expressions précédentes, on aura, pour le premier paramètre différentiel.

dp) ~^ p'-\de ) '^ f

et pour le second

d'-Y I d'V I d''\ -idY col 9 dV

df "^ p- dff ~^ fûn'-e d^^ ^ p dp "^ q' dB '