Problème IV. — Soit z une fonction de x^ y. Posons

(8) X^f{t,U,v), fz:z(û{t,.U,v), Z = ']>{t,U,v).

On demande d'exprimer les dérivées partielles -r-^ -j-y

-T— ^> ••• en fonction de, t^ w, v et des dérivées partielles

dv dv d'v

dt' du' dt'-' ""

z étant une fonction de ^, jk, les quantités .r, y, v seront des fonctions de t et de «, en vertu des trois équations (8). Prenant les dérivées partielles de ces équations par rapport à ces nouvelles variables, il viendra

dx dt

df df dv dt dv dt '

dx __df df dv du ~~ du dv du

dv dt

do do dv ~' dt '^ dv dt'

dv do do dv du du dv du

dz dt

()'| d'h dv "' dt "^ dv dt '

dz d'I^ d'i> dv du du dv du

dKx dt' "

dt' dtdv

dv dt

âr' \0l) ()v Ot''

On n'aura plus qu'à substituer ces valeurs dans les équations (.i) à (6), lesquelles détermineront -^j -^y -r— r> ••• ^ ^ ^ ^' ' dx dy dx^

VARfABLES RÉELLES. l33

XII. — Changements de variables dans les intégrales définies.