Soient X el t deux variables, liées par la relation

Nous admettrons que pour tous les points t d'un domaine borné E : i° la fonction o conserve une dérivée continue et différente de ^éro ; 2" à deux valeurs distinctes de t correspondent deux valeurs de ^ toujours distinctes.

Cette seconde condition serait, d'ailleurs, une conséquence de la première si E était d'un seul tenant; car il serait formé des nombres compris entre deux nombres fixes ^0, T, et si X prenait la même valeur ? pour deux valeurs difî'érentes ^, et to de la variable t^ x — ? s'annulant pour ces valeurs, sa dérivée 'f'(^) s'annulerait pour une valeur intermédiaire, ce qui est contraire à notre première hypothèse.

A l'ensemble E des points t correspond un ensemble E' de points x^ et si t décrit un ensemble parfait E,, de longueur mesurable et intérieur à E, ^ décrira un ensemble parfait E'j, intérieur à E'.

Soient

t un point de E( ;

t ~\- dt un point infiniment voisin;

^ et ^ + Ax les points correspondants.

On aura

R tendant uniformément vers zéro avec dt dans le domaine E,. Si donc dt reste inférieur à un nombre fixe convenablement choisi, R sera constamment moindre qu'un nombre

arbitraire £. Le rapport ' restera donc compris entre

M -i- £ et m — £, M et ni désignant le maximum et le minimum de I '>5'(^) |.

l34 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

On en conclut que E'^ a une longueur mesurable. Décomposons, en eflet, la droite lieu des points t en éléments infiniment petits dix-, dt^i .... La somme des éléments qui contiennent des points de la frontière de £< sera infiniment petite. Soit dtk l'un de ces éléments; les points de E, qu'il contient étant à des distances au plus égales à dt^ de l'un d'entre eux t^^ leurs correspondants seront à des distances du pointa/; qui correspond à tk moindres que (M + s)^^^^; ils seront donc tous contenus dans un segment o^ de longueur moindre que 2 (M -+- =) dt^.

La réunion des segments oyj forme un ensemble contenant la frontière de E'^ , et dont la longueur, étant au plus égale à

est infiniment petite. Donc E'j a une longueur mesurable.

14-2. Soit maintenant fi^x) une fonction de la variable x^ bornée dans E'^ ; on aura

F étant une fonction de ^, bornée dans Ei.

Nous allons montrer que l'intégrale, soit par excès, soit par défaut, de la fonction /(^), prise dans l'intérieur de E'^, est égale à l'intégrale correspondante de la fonction F(«) I o'(^) I prise dans l'intérieur de E, .

Considérons, par exemple, les intégrales par excès. Décomposons E, en éléments mesurables infiniment petits dt^, dt^^ ... et E'j en éléments correspondants A^,, A^25 • • • <^'galement mesurables. Soient Ma le maximum de F(^)|'y(^)| dans l'élément dth\ MJ^ celui de f{x) dans l'élément A^/^. Il faut prouver que les deux sommes

2M,|rf<,.i, ^\\',\^x^\

tendent vers la même limite.

VARIABLES RÉELLES. l35

Soit Ih la valeur de ^ à l'origine du segment dtk\ on aura

I R^ I étant <^ £ si les éléments sont assez petits. D'autre part, /(^) et F(^) n'étant que deux expressions différentes de la même quantité, le maximum de F(^) dans l'élément \dtk\ sera M^, et celui de F(^)|cp'(^)| sera compris entre M)^ n^ et MJ^ Na, rtk et N^ désignant le minimum et le maximum de l 'Wt) I dans cet élément. Gomme on a

MJi I cp'(^;t) I sera compris entre les mêmes nombres. On aura donc

I £/f I étant au plus égal à N^ — nk-

Or la fonction | cd'(^) |, étant continue dans E, , l'est uniformément; si donc les éléments sont assez petits, on aura

Na-— /iA<£, d'où 1 £/,!<£.

Cela posé, la différence sera égale à

Désignons par ^ le maximum du module de f{x) dans E^ ; le module de la somme ci-dessus sera moindre que

2 £tJL \ I dti, I = 2 spt. E,

et tendra vers zéro avec e.

La démonstration serait toute semblable pour les intégrales par défaut.

i36 l'UKMit-ui: PAHTii:. — ciiapitiu: i.

S\ /(x) est intégrable dans le domaine E^, ses intégrales par exeès et par défaut coïncideront: il en sera de même des intégrales de F(/)|cp'(^)| dans E, ; cette fonction sera donc intégrable dans ce domaine.

143. lleinarque. — Si nous supposons la fonction f{x) bornée dans E', nous pourrons faire croître le domaine E, de telle sorte que son aire tende vers Faire intérieure de E; celle de E^ tendra vers l'aire intérieure de E', et l'égalité

démontrée ci-dessus, deviendra à la limite

^J{:r)dxr=: ^¥{t)\o'[t)\dt,

sans qu'il soit nécessaire de supposer que E et E' soient mesurables.

141. Supposons en particulier que E et, par suite, E' soient d'un seul tenant; E sera formé par les valeurs de t comprises entre deux nombres fixes ^q etT; E' par les valeurs de X comprises entre les valeurs Xq qI IL correspondantes à ^0 et T.

L'intégrale de f{x), dans le domaine E', sera représentée par

f{x)clx, .

si X >> ^^0 ; par cette même quantité ebangée de signe, dans le cas contraire, car dans ce dernier cas, nous sommes convenus d'affecter les éléments dx du signe — (^^^^)'

De même, l'intégrale de F(/)|cp'(^)| dans E sera repré-

VARIABLI-S RÉELLES. 187

sente e par

F(Olo'(/)i^/^,

si T >> ^0 ; par cette expression changée de signe, si T << ^o- D'ailleurs |^'(^)| est égal à o'{t) ou à — ^'i^), suivant que cette dérivée est positive ou négative. ]^a dernière intégrale sera donc égale à

T V{t)o'{t)dt

OU égale et contraire, suivant que (T — /„) 'f'(^) est positive ou négative. Mais cette quantité a le même signe que X — Xq^ car lorsque t croît, x croît aussi, si 'f'(0 > o, et décroît au contraire, û o' { t) <C^ o .

On a donc, dans tous les cas,

Ç f{x)dœ=z Ç ¥{t)o'{t)dt.

'-■'■0 ^ lo

On peut donc formuler la règle suivante pour le changement de variable dans les intégrales simples.

Remplacer dans la différentielle à intégrer x parioi^t), dx par o'{t) dt ; prendre pour limites de l'intégrale transformée les valeurs de t qui correspondent aux anciennes limites.

145. Passons au cas des intégrales doubles. Soient .z', y et u^ i^, deux couples de variables, liées par les relations

Nous admettrons que, pour tous les points (//, c) d'un domaine borné E : i" les dérivées partielles de îp, cp, restent continues; 2" que leur jacobien J reste différent de zéro;

l38 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITIIE I.

3" qu'à deux points (w, (^) difï'érents correspondent deux points i^x^y) toujours différents.

A l'ensemble E des points [u^ r) correspondra pour les points {x^y) un ensemble E', et, si (?/, v) décrit un ensemble parfait et mesurable E,, intérieur à E, {x^y) décrira un ensemble parfait E^ intérieur à E^