Soient
(w, v) un point de E, ;
{a -^ du^ V -\- dv) =: (U, V) un point infiniment voisin; {x^y) et (j; + Ajc, r -I- Ay) = (X, Y) leurs correspondants.
On aura
do j do
-r^ du H- -y^ Ou av
Ax = -^ du H- -p: ^^' + 1^ '^^ + ^^1 ^^' =^ dx -^Rdu + Rj dv
Aj ■= -j-^ du -f- -~- dç -+- Rj du -\- R3 dv = <^y -h Rj du -h R3 dv,
R, R,, Ro, R,-j tendant uniformément vers zéro avec du, dv dans tout le domaine E|. Si donc | du \ el\dv\ ne surpassent pas un nombre p suffisamment petit,
I R «iw H- Ri dv I et | R.. du + R3 dv \
resteront moindres que
E{\du\-\-\dv\-],
£ pouvant être choisi aussi petit qu'on voudra.
La distance d(j des deux points (m, p), (w + du, v -f- dv) est donnée par la formule
da'-r=i du"^ -\- dv-.
et la distance A5 de leurs correspondants par celle-ci
A5===--A^-^4-Ay2.
VARIABLES RÉELLES. I Sq
En désignant par ds sa valeur principale, on aura
du ôv / \ au ôv
= M du"" -\-2^dudi^ -}-P dv\
en posant, pour abréger,
du
(àï
du âv au ôv
■■=(S)-fê
Le rapport -7-^ ne dépend que de u, ç el du rapport -j-;
sa valeur ne sera donc pas altérée si Ton y remplace du, d^^ par des quantités proportionnelles a, ^ telles que l'on ait
a^ H- 3- = I : il se réduira alors à
\du âv ^ ] \ du du ^
C'est une fonction de u, v, a, j3 continue et toujours positive; car elle ne pourrait s'annuler que si l'on avait à la fois
do do „ ^Oi doi ^
du di^ ^ du dv
d'où J = o, ou a = [i = o. Or, par hypothèse, dans tout le domaine E, J est ^o et, d'autre part, a?-\-^-=:\. Donc cette fonction admet un maximum M- et un minimum m^
tous deux positifs. Donc enfin le rapport -7- est toujours
compris entre les deux nombres positifs fixes M et m.
D'autre part, | A5 — ds\ est au plus égal à la distance des points {x -{- A;r, y + Ly) et {x -\- dx, y + dy), laquelle ne peut surpasser elle-même la somme de ses projections
\^œ dx\ + \ ^y - - dy\ = \K du -f- R, rf(^ | -h | R. du 4- R, dv\
<ig{\du\-^\dv\\<[^zda.
T A.ç ds A.Ç — ds 1 • 1 •
Le rapport -p- = -; — i ; sera donr compris lui aussi
^^ dG da da '
e.ntre deux nombres fixes M + 4î et m — 4^-
147. Il résulte de là que, si (w, v^ décrit une ligne rectifiable de longueur L, la ligne correspondante décrite par (;r,y) sera également rectifiable et aura une longueur 'comprise entre ML et /?îL. Car si l'on inscrit à ces deux lignes des polygones correspondants quelconques à cotés infiniment petits, le rapport des côtés homologues et, par suite, celui des périmètres, seront toujours compris entre M4- 4^ et /?2 — l\t. D'ailleurs, si les côtés deviennent suffisamment petits, on pourra faire décroître z autant qu'on voudra.
148. Cela posé, admettons que, le point (z^, v^ restant fixe, on fasse parcourir à du et hidv toute la suite des valeurs de o à p, p étant un infiniment petit.
Le point {u-^- du., v + dv) = (U, V) décrira un carré Q de côté p, et son correspondant (^ H- A^c, j^ + Aj^) = (X, Y) se confondra sensiblement avec le point (i,v]) qui a pour coordonnées
f :=: œ -h da: =z a: -\- -r- du -^ -~ dv, ou (Jv
n — y-{-dy=:y-\- -^ du h 7- di\
j ^ ^ du âr
Ce dernier point (ç, y]) décrit un parallélogramme; car si, di^ étant nul, on fait varier du de o à p, (k^fi) décrira un
, , . . . do (^Qi
segment de droite ayant pour projections —-^ p, -t~ P 5 ^^ ^^7
d'autre part, assignant à du une valeur fixe, on fait varier dç de o à p, (ç, y^) décrit un autre segment de droite ayant pour
projections -pp, -r-^p- Ces projections étant indépendantes
de du, la direction et la longueur de ce nouveau segment n'en dépendront pas non plus.
Les côtés a, h de ce parallélogramme P auront une Ion-
gueur au moins égale à mp, et son aire sera, d'après une formule connue,
mod
149. Quant au point (X, Y), sa distance au point (?, Tj) est, comme nous l'avons vu, moindre que
2s[\da\-i-\di^\]
et a fortiori moindre que 4£p-
Le domaine R. décrit par le point (X, Y) sera donc contenu dans un parallélogramme P' parallèle à P et de côtés rt 4- Sep, 6 + Ssp. L'aire de P' sera
Mais, d'autre part, R contient le parallélogramme P'^, dont les côtés sont a — Ssp, h — Bsp, et dont l'aire est au moins
égale à
Les aires intérieure et extérieure de R sont donc comprises entre les deux limites ci-dessus. Elles coïncident d'ailleurs, comme nous allons le voir.
150. En effet, soit plus généralement Eo un ensemble mesurable quelconque contenu dans E| (qui pourrait être d'ailleurs identique à Ei); l'ensemble E', décrit par (^, jk) lorsque (i^, v^ décrit E^ est également mesurable.
En efl'et, décomposons le plan des m, v en carrés Q de
côté p. La somme 7 Q^- de ceux de ces carrés qui rencontrent
la frontière Fo de Eo tend vers zéro avec p par hypothèse. A chacun d'eux Q/ correspond un parallélogramme P^ d'aire
au plus égale à
J/ désignant la valeur de J en un sommet du carré Qf.
L'ensemble de ces parallélogrammes formera un domaine mesurable et parfait, enveloppant la frontière F2 de E'., et dont l'aire sera au plus égale à la somme des aires des parallélogrammes P^ (qui, en général, empiètent en partie les uns sur les autres). Mais, en désignant par ijl le maximum de I J I dans E,, on aura évidemment
quantité qui tend vers zéro avec ^Q/. Donc E!, est bien
mesurable.
On trouve d'ailleurs aisément l'expression de l'aire de E', . En effet, à chaque carré Q;t intérieur à E, correspond dans E'^ un élément R^, mesurable comme on vient de le voir, et dont l'aire sera de la forme
. p . . . / ScY
7,A étant un inlmiment petit compris entre ( i H j — 1
et (1 -] — I et dont le module sera par suite inférieur
à un infiniment |)etit Tj, indépendant de k. L'aire de E', sera évidemment égale à
lim ^ R,.^ lim 2 I J,. I Q,-(i + n,). Mais 7 IJaIQa'^Oa a son module inférieur à
expression dont la limite est zéro. On aura donc pour l'aire
cherchée
E;=3li,n2|J,|Q,,,= §^lJlrfe.
151. Soit maintenant /(^, y) une fonction de ^, y, bornée dans E'^. Posons /(cp, cp, )=: F( m, r). L'intégrale, soit par défaut, soit par excès, de /(^, y) dans le domaine E'; sera égale à l'intégrale correspondante de F(u, c) | J ] dans le domaine E, .
Décomposons, en effet, le plan des w, ç en carrés de coté p. Soient Qk l'un d'eux qui soit intérieur à E, ; R^ l'élément correspondant de E'^ , et considérons, par exemple, les intégrales par excès. Désignons par M^ le maximum de F(«, t^') | J | dans Qk', par M), celui def{x, y) dans R/^. Il nous faut montrer que les deux sommes
2m*.Q,, 2Mi,R, = 2Ml.lJ,| (I + -o,,)Q,..
tendent vers la même limite.
Or, leur différence est égale à
2[M,.-M,|J,-|]Q,.-2M;,lJ,..h*QA..
Si M' désigne le maximum de |/(^,JK)| dans E', et [jl le maximum de | J | dans E,, le second terme de cette expression aura un module au plus égal à
>^2Q/t<M'|j.Y]Ei
quantité infiniment petite.
D'autre part, le maximum de F(w, i^) =zf(^x,y) dans Q^ est évidemment MJ^; et celui de F(w, t') | J |, que nous avons désigné par M^, sera MJ^ v/f, en désignant par v^ une quantité intermédiaire entre le maximum Na et le minimum //^ de |J| dans Q^. | J/v | est également intermédiaire entre Na eln/(. D'ailleurs Jetant continu dans Ej, la différence Na — /?a? et a fortiori le module de la différence va — | Ja [ tendra vers
144 PRKMlfeRE PARTIE. — CHAIMTRK 1.
zéro avec o, el cela uniformément. Il sera donc << e si o est assez petit.
Cela posé, le premier terme de la dilFérence
aura son module moindre que M'sE,, quantité infiniment petite.
152. Si la fonction /{jC, y) reste bornée dans tout le domaine E', l'égalité /
qui vient d'être éfcablie, donnera à la limite, en faisant tendre E,, E^ vers E et E', la relation
sans qu'il soit nécessaire de supposer que E et E' soient mesurables.
153. Des considérations toutes semblables s'appliquent aux intégrales triples. L'analogie est telle, qu'il nous suffira d'indiquer la marche du raisonnement.
Soient X, y, z et t, u, v deux séries de trois variables liées par les relations
x — (^^{t.u,v), yz=io.2{t,i(,v), z -=zo.i{L u,v).
Lorsque (t, u, v) décrira dans l'espace un domaine E, i^x^y^z) décrira un domaine correspondant E'.
Supposons : i" que dans tout le domaine E, les dérivées partielles de cp,, cp2, cp^ soient continues, et leur jacobien J différent de zéro; 2° qu'à deux points (^, ?/, v) différents correspondent toujours deux points {x^y^ z) différents.
Si (^, w, (') décrit un domaine j)arfait et mesurable E,
VARIABLES RÉELLES. " l^Ô
intérieur à E, (^,X, z) décrira un ensemble correspondant E', , intérieur à E'.
Soient (/, u, v), et (t + dt, u + du^ v + dv) = (T, U, V) deux points de E| infiniment voisins : leur distance dT sera donnée par la formule
d(7- = dt^ H- du^ -h dv^-, et celle A^ de leurs correspondants par la formule
A.ç2=A^2^ Ay2-f-A5% expression dont la valeur principale est ds^ = da;^ -h dy^ -+■ dz-
-^ dt -{- -^ du -^ -P- dv ] -+-...
ot ou ov j
W^de 4- M2 du'^ 4- M3 (^(^2 + 2 Ni rfi< d^>
^i^^^dv dl -\- i^zdtdu,
ou M,
=^iM' ^-2(*)' «-2(ï)'
Le rapport — est toujours compris entre deux nombres
positifs fixes M et m.
D'ailleurs si \dt\^ \du\^ \^^\ ^^ surpassent pas un nennbre donné p, la distance des deux points
{X 4- ^x, y -h Aj, z -f- A^) :..(X, Y, Z) et
{x -f- dx^ y -h dy, z -\- dz) z:^ {l, y), Ç)
sera moindre que 3£(| <i^ | + | <i;^ | -j- | «ft^ |) et, a fortiori, moindre que gsp, s ne dépendant que de p et tendant vers zéro avec lui.
Donc -T- est également compris entre deux nombres posi-
un.
1^6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRIÎ I.
tifs fixes. Si {t, u^ v) décrit une ligne rectifiable, il en sera de même de son correspondant (X, Y, Z). Le rapport des longueurs de ces deux lignes sera compris entre M et jn.
Si (^, w, p) décrit un cube G de côté p, (c, Tj, w) décrira un parallélépipède dont les arêtes a, b^ c auront une longueur au moins égale à mp et dont le volume sera | J |G.
Le point (X, \, Z) décrira un domaine contenu dans le parallélépipède dont les arêtes sont
<7-f-i8£p. /^-i-iSsp, c-i-iSsp,
et dont le volume est au plus égal à | J|G( i H ^ j • Mais
ce domaine contient le parallélépipède dont les arêtes sont
a — iSsp, b — iSsp, r — i8cp, et dont le volume est au moins égal à
On en conclut, comme aux n'" 150 à lo2 : i" Que le domaine décrit par [x^y\z) lorsque (t.u^v) décrit dans E| un domaine mesurable est mesurable;
2" Que si /(^, y^ z) ■= F(^, w, v) est une fonction bornée
dans E', , on aura
^^ /(.r, y,z)de r=j^^ F(/, ^., r) | J | de-
les deux intégrales étant prises soitpar excès soit par défaut. 3° Que si f[x^y^z) est bornée dans tout le domaine E' mesurable ou non, on aura encore
j^^/(^, y,z)de ^ ^^ F(^, u, v)\S\ de.
154. On traiterait par des procédés tout semblables le cas des intégrales multiples d'ordre quelconque; mais, l'intuition géométrique faisant ici défaut, il faudrait traduire en langage analytique les démonstrations relatives à l'aire du parallélo-
VAUIABLES RÉELLI'S. l^\']
gramme ou au volume du parallélépipède et en faire l'exlension au cas de plus de trois variables. Nous ne nous y arrêterons pas.
loo. Soient [u^ v) un point d'un plan el [x ^ y , z) \\n point de l'espace, lié au précédent par les équations
Nous admettrons que pour les valeurs de (w, i') comprises dans un domaine E : i" les dérivées partielles de o,, cco, '^3 restelit continues; 'i^ les trois jacobiens
â(i ()v du dv
du dv du dv
P doi d(D^ do. 2 (^9, dff dv du dv
ne s'annulent pas simultanément; 3" à deux points [u^ v) distincts correspondent deux points (a:, k, z) distincts.
Le point (w, v) décrivant un domaine E< borné et parfait, intérieur à E, le point (^, J^', z) décrira une surface.
