Soient

(;/, V) un [)oint de E, ;

( u --+- clu^ V -f- dv) = ( [J, V ) un au tre point infiniment voisin ;

{x,y,z) et (.2; + Ax,r + Aj)', ^4- A3) = (X, Y, Z) leurs correspondants.

On aura

A^ t= — ^ du H ^ dv H- R du 4- R. dv,

du dv

Ar — -^ du H ^dv -h Ro du -\- R. dv,

du dv

A:; =::= — ^ du -\ ~ dv 4- R4 du + R. dv.

du dv

l48 l'UKMlËRK PARTIE. — ClIAl'lTRi; 1.

Posons

Celte dernière quantité aura pour \aleiir piincipale

ds'- — d.r"- + df + dzr- — M du- + ?, N du dv 4- P dv"-,

ds On verra, comme au n" 146, que le rapport -^ reste constamment compris eiitre deux nombres positifs fixes M et m. Si nous supposons que \du\ et \dv\ ne surpassent pas un nombre p suffisamment petit, |R|, | Rj |, ... resteront moindres qu'une quantité arbitrairement choisie î, et la distance des points (\, Y, Z) et

(;, n, n --= (^ -+- <^f^; y + dy, z 4- dz)

(et a fortiori la différence A.v — ds) sera au plus égale à la quantité

I R flf^/ -h Ri f/c I + . . . < 3c [j ^/< 1 -f- I afc 1 1 < 6s ^(T.

A.v Le rapport -^ restera donc compris entre M -}- 6î et m — 6s.

On en concUit, comme au n" 117, que, si (U, V ) décrit nne ligne rectifiable, la ligne correspondante décrite par (X, Y, Z) sera également rectifiable.

157. Si le point ( L , \ ), partant de la position initiale («, t'), se meut dans le })lan des u, r, le ])oint

ôo, ^ (h

P —■ .^• H ~^du -f- -V- <^'«'>

^ Ou di'

d'J; , do., .

n =: y H-- -~^ du H 7^ rtc,

*^ ou (JV

do,, , àO:i j

t,—z +- -f- du ^ -~- dv Ou Ov

VAUIABM'S HfiRLLKS. 1I9

décrira un plan, donl l'éqnalioii

A (J — ^0 + \Hn -y) 4- ce - ..) ^ o

s'obtient en éliminant du et fA' entre les trois é({nations cidessus.

Supposons que du et dv varient de o à p, le point (U, V) décrira un carré G, et les projections dn point (;,irj, ^) sur les plans coordonnés, des paralléloi;rammes, ayant respectivement pour aires 1A|0, |B|Q, |G|Q. Le point (H,t,,Q décrira donc dans l'espace un parallélogramme, d'aire

JMais, si g est infiniment petit, le point (X, Y, Z) décrira un élément de surface infiniment voisin de l'élément plan décrit par (Ç, Ti, Ç); nous sommes donc conduits à lui attribuer une aire, ayant pour valeur principale

et, par suite, à définir de la manière suivante l'aire Q, de la portion de surface décrite par (x, y, z) lorsque (u, r) décrit E, :

Nous décomposerons E, en carrés infiniment petits; nous multiplierons chacun de ces carrés Oy; ]^ar

v/Ai-hH^.+ c;?,

Af(^ B/i, Gf( étant les valeurs de A, B, C en un de ses sommets. La limite de la somme

qui n'est autre chose que l'intégrale double

représentera l'aire demandée U,.

l5o PREMIÈRE PARTIE. CHAPITIU: I.

Supposons niaintenant que l']| Lende vers E; 0, tendra vers une limite Q, é^ale à

V/A^ 4- \V' + C2 de.

lo8. Lorsque la surface décrite par le point Çx, y, z) est un plan, Taire Ù est susceptible d'une mesure directe. Il faut donc établir que notre définition nouvelle n'est pas en discordance avec cette notion déjà acquise. En désignant par a, P, V les cosinus directeurs de la normale au plan, nous aurons