Soit >' une fonction quelconque, définie par l'équation

En prenant les dérivées de cette équation, il viendra ÔF ()F ,

^-F rPF , Ô'F ,, ^F ,

oœ- ôi' or ôr^ ây

Toute équation déduite de la combinaison de ces équations avec la proposée sera une équation diflerentielle à laquelle satisfait la fonction y. Parmi ces équations, il conviendra de rechercher celles qui ont la forme la plus simple ou la phis avantageuse pour le but qu'on se propose.

162. Il arrive souvent que des fonctions dont l'expression contient des transcendantes ou des radicaux satisfont à des

iSî PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

équations dilFérentielles d'où ces transcendantes ou ces radicaux ont disparu.

Soit, par exemple,

y 7= arc sin j?.

On en déduit

Prenant la dérivée de cette équation et supprimant le facteur commun 2 y', on aura l'équation du second ordre

(2) (i- j:;-)j"-.xy=o.

On peut déduire de cette équation une formule récurrente commode pour le calcul des dérivées successives de y. Prenons en effet la dérivée m'''™® de cette équation; il viendra, en appliquant la formule connue qui donne la dérivée m**^'"* d'un produit,

— :r/('"+*^ — m/^'"^ = o et, en réduisant.

Cette forjuule se simplifie pour la valeur particulière :r = o. Si l'on désigne par y^^ y\, ... ce que deviennent alors 7, y ^ . . ., il viendra

7 0 — "* / 0 • On aura, par suite,

rL^^=r32r::=:±I^3^