Considérons en second lieu rex[)ression

Prenons la dérivée logarithmique des deux membres, c'est-à-dire la dérivée de leurs logarithmes; il viendra

y' (x-^\]x^—\) Il

d'où

ou, en prenant la dérivée et supprimant le facteur commun

(3) {a;^'-i)f-^œy'--,ry = o.

Prenant la dérivée m"^'"^ de cette équation, on aura la formule récurrente

(^.•2,)y(/«+2)|. 2m.rf^"'+^^

ou, en réduisant,

(,z;^ — i) yi"t-^V -^ (^2 m -^ i)xy("'-^^^ -\- {/n'- — n'-) y^'"^ = o.

Pour J7 = o, cette formule se réduit à

164. L'équation différentielle (3) subsisterait évidemment, ainsi que la formule (4) qni en est la conséquence, si l'on changeait le signe du radical dans l'expression de y. Elle subsistera encore si l'on pose

= C(^ + \J.r'—i y 4- C'Çx — v/'^^^^^=^)",

G et G' étant deux constantes quelconques, car le résultat de la substitution de cette quantité dans le premier membre de (3), étant évidemment égal à G fois le résultat de la substitution de {x 4- \/x' — • I )" plus C fois le résultat de la substitution de (x — yx- — i )", sera nul.

l54 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

Soit, en particulier, C = G'=^: ^, et supposons n entier et positif. L'expression

= \{x + v/:^:^-ir7)'^ + i(^. sJœ^:~Ly

étant développée suivant la formule du binôme, les puissances impaires du radical se détruiront, et Ton obtiendra éNidemment un polynôme entier de la forme

Le coefficient A,^ peut se calculer aisément. On a en effet, en divisant par x'^ et faisant tendre x vers 00,

A„=: lim ^^

lim

Pour calculer les autres coefficients, on remarquera qu'on a, en général,

yu- 2 i>-ï --i2...{n—2p — 2) A,,2/,, ,

d'où

y" 2/>-2 A„2^,2= A„2/,(/« — 2p) (fl—2p — l) '^\,,^,

OU, d'après la formule (4),

Cette relation permettra de calculer successivement tous

les coefficients, en partant du premier.

Posons

œ = coso), d'où

\/x'^ — I r= i sin Q ; il viendra

VARIABLES HÉELLES. I 55

OU, d'après une formule que nous établirons plus loin,

Nous venons donc d'obtenir le développement de cos/i-j, suivant les puissances de coscp.