II. — Ensembles

20. Soient ^, j', ... des quantités variables; nous appellerons point un système de valeurs simultanées a, b, ... donné à ces variables; écart de deux points p = (a, Z>, . . . ) et /?'= (a', /;',... ) l'expression

Si cet écart est nul, les deux points coïncident, et réciproquement.

On dira que le point p z=^(a^b, . . .) est la limite d'une suite de points

si l'écart pp,i a pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment, ce qui revient à dire que Xni y,i^ • • • ont respectivement pour limites «, b, ....

YARIABLKS RÉELLES. I9

On nomme ensemble toute collection de points, en nombre fini ou infini. Un ensemble aura autant de dimensions qu'il figure de variables x^ r, • • • dans la définition de ses points.

On nomme point limite d'un ensemble E tout point qui est la limite d'une suite de points de E. Le système de ces points limites forment un nouvel ensemble E', qu'on appelle le dérivé de E.

Considérons, par exemple, le cas d'une seule dimension. D'après les définitions précédentes, l'ensemble des nombres entiers n'a pas de point limite.

Celui des fractions }, {-, |^, ... a un point limite ^ 1:= o.

Celui des nombres rationnels ;> a et <^b a pour dérivé l'ensemble des nombres réels y a et ^ 6.

Ce dernier se confond avec son dérivé.

On voit par ces exemples qu'un ensemble E peut contenir des points qui n'appartiennent pas à son dérivé E', et réciproquement.

Si un point/? = («, b^ . . .) appartient à E sans appartenir à E', on pourra, par définition, trouver une quantité £ telle que tout autre point de E soit écarté de p de plus de s. On dit dans ce cas qucyo est nn point isolé dans E.

21. Nous appellerons ensemble parfait tout ensemble qui contient son dérivé.

Un ensemble E', dérivé d'an aatre ensemble E, est nécessairement par/ait.

Soit en efl'et 7: un point limite de E'. On pourra, par bjpotlièse, déterminer dans E! un point p' tel que l'écart p't.

soit < -• D'autre part, p' étant un point limite de E, on

pourra déterminer dans E un point p tel que l'écart />// soit

<C -• Cela posé, soit

on aura

prL — \a — ce \-\-\b ~ ^\-h. . .

Donc Tc est un point limite de E et appartient à E'.

22. Si l'ensemble E ne contient pas tous les points possibles, les points qui ne lui appartiennent pas forment un ensemble complémentaire E, .

Soient respectivement E', E'^ les ensembles dérivés de E, E^. Tous les points de l'espace pourront être répartis en trois classes :

1° Ceux qui appartiennent à E, sans appartenir à E, . Pour chacun d'eux/? on pourra assigner une quantité e telle, que tout point dont l'écart à y? est << s n'appartient pas àE,, et par suite appartient à E. Nous dirons que les points de cette classe sont intérieurs à E (et extérieurs à E, ).

2° Ceux qui appartiennent à E,, sans appartenir à E'. Ces points seront extérieurs à E et intérieurs à E,.

3** Enfin ceux qui appartiennent en même temps à l'un des ensembles E, Ei et au dérivé de l'autre. Ces points constituent \di frontière commune des deux ensembles E, E,.

// existe toujours des points frontières. Soient en effet yo = (a, 6, . . .) et 71 = (a, [3, . . .) deux points quelconques, choisis respectivement dans E et dans E, , et soit n un entier arbitraire. Considérons la série des points

où m prend successivement les valeurs o, i , . . ., 2". J^e premier point de cette suite est p et appartient à E; le dernier est 71 et appartient à E, . Soient pn le dernier des points de cette suite qui appartienne à E; iZa le suivant. On aura

/?/.= [«+ tn{a — a), b-\- t„{?>~ b), . . .], 7rrt=[a-h«„(a — a), 6 -h «^«((3 — b), . . .],

VARIABLES RÉFXLES. 21

t„ et Un étant deux fractions comprises entre o et i, ayant

pour différence — et dont la première ne décroît jamais, et

la seconde ne croît jamais lorsqu'on fait croître /^.

Supposons d'abord qu'il n'existe aucune valeur de n au delà de laquelle t^ cesse définitivement de croître ou Un de décroître. Les quantités t^ et Un tendront vers une limite commune 6, et les points/?,, . . ., p,i-, . • • d'une part, tt,, . . ., ?:„, . . . d'autre part, auront pour limite le point

Ce point appartiendra donc à la fois à E' et à E, , et, comme il appartient nécessairement à E ou à E, , ce sera un point frontière.

Supposons, au contraire, qu'à partir d'une valeur v de n^ t,i^ par exemple, cesse de croître et reste égal à t^'^ u^ décroîtra et tendra vers ^vj les points tTv? '^v+i^ ••• tendront donc vers yOv- Ce point appartiendra donc à Ej et, comme il appartient à E, c'est encore un point frontière.

^3. La frontière F, dont l'existence vient d'être établie y constitue un ensemble parfait.

Soit en effet q un point limite de F; F contiendra une suite infinie de points q^^ . . ., q,i^ - . • convergeant vers q.

Si parmi eux il y en a une infinité appartenant à E età E',^ leur point limite q appartiendra à E' et à E", , dérivés de E et de E'^ . Mais E', , étant parfait, contiendra son dérivé. Donc q appartiendra à la fois à E' et à E'^ , et, comme il appartient nécessairement à E ou à E,, ce sera un point frontière.

Si, parmi les points ^,, ..., ^„, ..., il n'en existe qu'un nombre borné appartenant à E et à E'^ , les autres, en nombre infini, appartiendront à E| et E', et la conséquence sera la même.

21. Quant aux points intérieurs ou extérieurs, leur existence n'est pas nécessaire. Il est évident, par exemple, que si l'on prend pour E l'ensemble des nombres rationnels,

22 PIlEMliîRE PARTIE. — CHAPITRE I.

pour E, celui des nombres irrationnels, il n'y aura aucun point qui ne soit contenu dans la frontière.

Les ensembles parfaits qui contiennent des points intérieurs présentent un intérêt particulier, et il convient de les caractériser par un nom spécial. Nous les appellerons des domaines.

2o. Un ensemble E d'une seule dimension est dit borné supérieurement (^inférieurement)^ si tous les nombres qui le composent sont inférieurs (supérieurs) à un nombre fixe L.

tSoient, dans ce cas, F l'ensemble des nombres phis grands (plus petits) que tous ceux de E; F| son complémentaire. 11 existe un nombre frontière M, lequel jouira de la double propriété : i" que E ne contient aucun nombre >> M(<; M); 2" qu'il en contient qui sont >> M — £(<< M + s), quel (|ue soit le nombre positif î.

Ce nombre M s'appellera X^borne supérieure ou le maximum (borne inférieu/e ou minimum) de E. 11 peut, suivant les cas, rester en dehors de l'ensemble E ou lui appartenir. On dit, dans ce dernier cas, que E atteint son maximum (son minimujn). Cette circonstance se présentera nécessairement si E est un ensemble parfait.

Si plusieurs ensembles E,, E^, ... admettent respectivement des maxima (ou minima) M^, Mo, ..., il est clair que l'ensemble E, résultant de leur réunion, aura pourm«ximum le plus grand (pour minimum le plus petit) des nombres M<, Mo, ....

Si réciproquement on décompose un ensemble E admettant un maximum (un minimum) M en cnseuibles partiels E, , Eo, ..., ceux-ci admettront des maxima au plus égaux à M (des minima au moins égaux à M).

26. Considérons plus généralement iia ensemble E à un nombre quelconque de dimensions.

Soient (a. b, . . .). ... ses points. Nous dirons qu'il est

VARIABLES RfiKLLES. 23

boriié si l'ensemble de toutes les valeurs des modules |a|, I ^ |, ... pour ses divers points admet un maximum a. Dans ce cas, les nombres «, b^ ..., étant compris entre — ix et H- [JL, forment un ensemble borné en dessus comme en dessous.

Réciproquement, si l'ensemble des nombres a, 6, ... admet un maximum M et un minimum m, l'ensemble E sera borné, car les modules [a|, | ^ |, ... ne pourront surpasser le plus grand des deux nombres | M |, \m\.

^11 . Tout ensemble borné qui contient une infinité de points admet au moins un point limite.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'un ensemble E à deux dimensions; soient {a, b)^ ... ses points. Soient M et m les deux nombres fixes entre lesquels tous les nombres a et b sont compris.

Partageons l'intervalle M — m en n intervalles égaux. Chacun des nombres a, b tombera dans l'un de ces intervalles. Groupons en un ensemble partiel tous ceux des points de E dans lesquels a el b tombent respectivement dans les mêmes intervalles. Nous obtiendrons ainsi n- ensembles partiels, dont la réunion constitue E. L'un au moins E, de ces nouveaux ensembles devra contenir une infinité de points; et si (r/^b), (a',b') sont deux de ces points, leur

écart, \a — a' | -f- [ ^ — b' \, ne pourra surpasser a

Opérant sur E, comme sur E, on le décomposera en ensembles partiels, dont l'un au moins, Eo, contiendra une

• /- . , 1 . 1 1, , M — m intinite de points dont 1 écart ne pourra surpasser 2 :; — •

On opérera sur Eo comme sur E,, et ainsi de suite. Cela posé, soient

Pi un point choisi à volonté dans E, ;

P2 un point différent de/>,, choisi à volonté dans Eo ;

/?3 un point différent de />, etdeyvo, choisi à volonté dans E3 ;

et ainsi de suite.

24 PREMIÈRE PARTIK. — ClIAPITRK I.

Ces points /><, /?25 /'Sî ••• leiidronl évidcmnienl vers un point limite tu.

28. Nous pouvons ajouter la remarque suivante, qui nous sera souvent utile :

Soit £ une quantité quelconque. La suite /j,, p^^ . • . contient un point p^. dont l'écarl à ti est << £. Soit s, un autre

nombre, moindre que - et que les écarts /^iir, . . ., pa'>-- La

suite contiendra un point p^y^^ dont l'écart à iz sera <C £ij et l'indice a, sera > a. Soit z., un nombre moindre que les

écarts /^iTu, . . ., yp^^'^ et que — ; ia suite contiendra de même

un point />a. dont l'écart à t. sera << z., et ao sera >> a, ; et ainsi de suite.

On obtient ainsi une infinité de points successifs ^^^ Pol^^ jo^j? • • • ayant pour limite tt, et tels : i° que les indices a, ai, a^, ... aillent en croissant; 2° que l'écart de />a„ à t: soit

29. Soient E et E' deux ensembles formés par des points de même nature.

Les écarts des divers points /? de E aux points p' de E' forment un ensemble de nombres non négatifs. Il est donc borné inférieurement, et admet un minimum A, positif ou nul, que nous appellerons Vécart des ensembles E, E'. Si cet écart est ;> o, nous dirons que les ensembles E, E' sont séparés.

30. Si deux ensembles bornés et parfaits E, E' qui n^ ont aucun point commun ont pour écart A, ils contiendront au moins un couple de points ayant précisément A pour écart mutuel.

Soient, en efl'et, p =^ (x, y, . . .), ... les points de E; p' = {x' ^ y', . . .), ... ceux de E'. Associons-les deux à deux

de toutes les manières possibles de manière à former de nouveaux points />/>'= {^1 y^ • • •? ^'^ y? • • •) dépendant d'un nombre double de variables. L'ensemble EE' de ces points sera évidemment borné et parfait.

Cela posé, si E et E' ne contenaient aucun couple de points dont l'écart fût A, ils contiendraient tout au moins un couple de points yo,, p\ dont l'écart serait moindre que A H- £, £ étant un nombre donné qui peut être choisi à volonté.

Soient «f l'écart de/?, à /j)'^ , et £< un nombre «< â^ et << -•

On pourra déterminer un nouveau couple de points p-i^ p[, dont l'écart soit <C A 4- £< .

Continuant ainsi, nous obtiendrons une suite infinie de couples Pi-, p\', ...; />/o P/t'') ••• dont les écarts mutuels convergent vers A, Les points correspondants />, /?'^, ..., P/ip',i de l'ensemble EL', étant en nombre infini, admettent au moins un point limite />/?', où les deux points composants p, p' auront pour écart A. Mais p est une limite de l'ensemble des points /?i, ..., p„, ... qui appartiennent tous à E; c'est donc un des points limites de E; et comme cet ensemble est parfait, il contient p. On voit de même que E' contient p'. Le théorème est donc démontré.

L'écart A ne peut être nul, car s'il l'était, p et p' se confondant, E et E' auraient un point commun contre l'hypothèse.

3L Nous disons qu'un ensemble parfait et borné est d^un seul tenant lorsqu'il ne peut être décomposé en plusieurs ensembles parfaits séparés.

On voit aisément que le caractère distinctif d'un pareil ensemble est le suivant :

Entre deux quelconques de ses points />, p' , on peut toujours, quel que soit s, intercaler une chaine de points intermédiaires appartenant à V ensemble, telle que l'écart de deux points consécutifs soit << s.

Cette condition est nécessaire. En efl'et, supposons que pour une valeur donnée de s elle ne soit pas satisfaite. Associons au point /> d'abord tous ceux des points de E dont l'écart à p est -< £, puis ceux dont l'écart à Tiin de ceux-ci est << £, et ainsi de suite. Tous les points ainsi groupés forment un ensemble E, . Les autres points de E forment u/i ensemble E^, contenant au moins un point p' ^ et dont l'écart à E, est ^£. D'ailleurs chacun des ensembles E,, Eo est parfait. Soit, en effet, /, un point limite de Ei . Il appartient à E, qui est supposé parfait; d'ailleurs, il existe des points de E, dont il est écarté de moins de £. Donc il appartient à Ej et non à E2.

Soit, d'autre part, /o un point limite de Eo. H appartient à E; et, comme il existe des points de Eo qui en sont écartés de moins de £, il ne peut appartenir à E, 5 donc il appartient àE,.

Réciproquement, cette condition est suffisante. En effet, supposons E^^écomposable en deux ensembles parfaits séparés E,, Eo*, soient ù leur écart, /?<, p^ deux points pris respectivement dans E, et Eo ; si on les relie par uue chaîne quelconque de points intermédiaires, on aura nécessairement deux points consécutifs appartenant l'un à E,, l'autre à Eo. Leur écart est donc ^ô; et la condition de l'énoncé ne sera pas remplie, pour les valeurs de £ moindres que 0.

32. La proposition qui précède entraîne cette conséquence évidente :

Un ensemble E formé par la réunion d'un nombre quelconque d'ensembles d'un seul tenant E,, Eo, . . . dont chacun a au moins un point commun avec l' un des précédents est lui-même d^ un seul tenant.

33. Un ensemble d'un seul tenant E, s'il ne se compose pas d^ un seul point, se confond avec son dérivé ¥J . En effet, il le contient, par définition. Mais, d'autre part, il y est contenu. Soient, en effet, /;,/>' deux points arbitrairement choisis dans E. On peut intercaler entre eux une chaîne de points

Oi, P2, .. . telle que l'écart de deux points consécutifs quelconques, et notamment celui de/? àp,, soit ^£. Soient d cet

écart; £, un nombre << <^ et << -• On peut trouver de la même

manière un nouveau point/?2 dont l'écart à/> soit -< £i. Continuant de même, on obtiendra une suite infinie de points /?<, p.2i • . ., convergeant vers p. Donc, p appartient à E'.

34. On peut encore remarquer quhin ensemble E, d'un seul tenant et d' une seule dimension, qui contient deux nombres donnés a et b^ contient tout nombre c intermédiaire entre a et b. Soient, en effet, a<, a-y, . . . une suite de noml)res intermédiaires entre a et c et convergeant vers c; />,, b^f • . • une suite de nombres intermédiaires entre b et c et con\ ergeant vers c. On pourra, par hypothèse, intercaler entre a et b une chaîne de nombres appartenant à E, et dont les écarts successifs soient moindres que bu — ««. L'un au moins de ces nombres intermédiaires tombera entre «„ et b,i-> Désignons-le par c,i- Soit s, l'écart \c,i — c | ; on peut trouver dans les suites a,, «2, ... et ^j, b.^^ ... deux nombres <7„ , bn^ dont l'écart soit «<£», puis déterminer dans E un nouveau nombre c„^ tombant entre a^^ et b„^\ et ainsi de suite. Les nombres c„, c„p ... convergent vers c. Donc c est une limite de E, et, comme E est parfait, c est l'un de ses points.

Si l'ensemble E est borné, il admettra un maximum M et un minimum m] étant parfait, il les atteindra. 11 est donc formé par le système de tous les nond)res réels qui sont ^M el^m.

Si E n'est borné que supérieureuient (inférieurement), il sera formé par l'ensemble des nombres réels qui sont ^M (qui sont 5 m).

S'il n'est i)orné dans aucun sens, il contiendra tous les nombres possibles.