Consich'rons l'équation

qui, considérée au point de vue géométrique, représente Féquation générale des cercles. Celte équation contenant trois constantes, l'équation différentielle qui s'en déduit sera du troisième ordre. Pour l'obtenir, nous formerons les dérivées successives

a: -t- y y' -h « -f- by' = o

(nous avons supprimé le facteur 2 pour plus de simplicité),

I + y'- -+- y y" + by" = o,

Eliminant b entre ces deux dernières équations, nous obtiendrons Véquation différentielle des cercles

(■ +y"-+yy")y"-y"(.^y'f+yy"') = o

ou, en réduisant,

(i-Hy")/'-3ry==o.

169. L'équation dilFérenlielle des coniques a été obtenue par M. Halphen de la manière suivante :

L'ordonnée y d'une conique est définie par l'équation

y z:^ ax H- ^ziz (/?jc^+ iqx -^ r)- .

On en déduit, par des dérivations successives,

1 y' = a±:{px -h q){px--h 2qx -h r) %

y = ±: /?(/?x-4- 2^^ 4- /•) -qi {px ~{- qy{px^ -^ 2qx -h r) ^

^ pjpx'-^ iqx + /•) — {px + qY

{px--h 2qx -h /•)"

(px^-h iqx -\- l'Y

l58 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

d'où

(5) v"î px'--v-^iqx-^-r

et, en effectuant trois nouvelles dérivations,

Si la conique est une parabole, p sera nul. Le second membre de l'équation (5) ne contenant pas de terme en x-^ deux dérivations suffiront pour faire disparaître les autres constantes. L'équation différentielle des paraboles sera donc

Il est aisé d'obtenir les équations (6) et ('y) sous forme développée. On a, en effet,

(/"'J ^-îy'^'y",

Portant ces valeurs dans les équations (6) et (-), chassant les dénominateurs et supprimant le facteur commun 2, il viendra, pour l'équation générale des coniques,

__ f^of -f- ^5Y"yy - gy'y — o

et, pour celle des paraboles,

170. Cherchons enfin la condition pour que des fonctions y'i, y 2-, .. ., y'n d'une même variable x soienl liées par une équation linéaire à coefficients const.ants

Ci/i4-C2/2-+-- • -H- C„7„=:o.

Prenant les dérivées successives de cette équation, il

viendra

Cl/', -^<^2j2 -H... + c„y;,

et, en éliminant les constantes,

.Ta

jV ^^

On verra dans le Calcul intégral que cette condition est suffisante.

171 . On donne le nom à^ équation aux dérivées partielles (V ordre n à toute équation entre des variables indépendantes .r,, ^o, . . ., Xp^ une fonction z de ces variables et ses dérivées partielles des n premiers ordres.