Soit

Xp^ ^, Cj

une équation contenant n constantes arbitraires el définissant une fonction z des p variables indépendantes ^^, ..., Xp. On pourra joindre à cette équation ses p dérivées partielles

^F ॠôz âxi ôz âxi ~ '

dx,

⥠dz

âz OXn

par rapport à cliacune des variables indépendantes jr,

'•) Xp^

puis ses

dérivées partielles du second ordre

dx'

(PF dz dx, dz dx

d'V ( dz

dz- \dxy

dF d\z dz dx\ ~~ ^''

l6o PREMIÈRE PARÏIK. — CHAPITRE 1.

et ainsi de suite jusqu'à ce que le nombre total

/- , un^ PJP-^') , ^ />(/>-f-l)...(/>4-Q — i)

des équations ainsi obtenues surpasse le nombre n des constantes arbitraires. Eliminant ces n constantes entre les A" équations, on obtiendra un système de A" — n équations aux dérivées partielles d'ordre p, à chacune desquelles z satisfera, quelles que soient les valeurs des constantes C|, . . ., c„.

173. Exemples. — i" Cherchons les équations aux dérivées partielles des plans

( 8 ) z r=:zax -\- by -^ c.

Suivant un usage généralement adopté dans la théorie des surfaces, nous représenterons pour abréger les dérivées partielles

à^ àz (Pz^ d'-z d'^z ôx^ dy^ dx^^ âx ôy dy'^^

par les lettres

D'après cette définition, on aura

dz -rz.p dx -\- q dy, dp ■=: r dx 4- s dy^ dq = s dx H- t dy.

Cela posé, les dérivées premières de l'équation (8) seront p = a, q — b, et une seconde dérivation donnera les équations cherchées

(9) /• = O, 5rr:o, ^ nr o.

Réciproquement, cherchons à intégre?' ces équations, c'est-à-dire à déterminer les fonctions :: de x^ y qui y satis-

VARIABLES RÉELLES. l6l

font. On en déduit

o 1^ r dx -\- s dy ^=^ dp ^ d'où /? = const. =: a, o^rz s dx -\- t dy z= dq, d'où ^=const. = 6; dz^ a dx H- b dy^

z ■=. ax 4- by -\- c,

c désignant une constante.

Les plans sont donc les seules surfaces dont le z satisfasse aux équations (9).

174. 2" Glierclions les équations aux dérivées partielles des sphères

^jc — aY^{y~bY-\-{z-cy^r\ On déduit de cette équation les dérivées suivantes :

x — a -^ p{z — c)=ro, y—b-^q{z — c) = o, puis

pq ^s{z —c) — o, H-^^+ t{z — c) — o.

Eliminant z — c, on aura les équations cherchées

Réciproquement, cherchons à intégrer ces équations. Elles peuvent s'écrire

i-i-/)2 — Xr, pq = \s, i^q'^—'kt,

\ étant un facteur de proportionnalité.

Des deux premières on déduit

(i +/>^) dx ^ pqdy = \{^r dx -\- s dy) ou

dx -\- p dz =::ldp

J. -I. il

OU

d{œ -{- pz) = ( xî -h >. ) dp.

X -\- pz est donc une fonction de />, dont z ->t-\ est la dérivée. Soit

On déduit de même des deux dernières équations

Donc

Si cette expression n'est pas une constante, p el g seront liés par une relation, et leur jacobien rt — s'^ sera nul. Mais on a

y}(^rt — S-) — {^^p''){i'^q'')—p^q^=i^p''+q'''>0.

Donc si rt — s"^ est nul, \ doit être infini et, par suite, /• =: 5 = i m G.

La surface sera donc un plan.

Reste à considérer le cas où z -\-\^= ¥' p = (i»' q est une constante c. On aura alors

ûT -^ pz^=cp -\- a, y -^ qz =:zcq -h b,

a el b étant des constantes.

On déduit de là

( ^ — a) dj^ -h {z — c)p dx^rziOy {y — b)dy^ {z — c)qdy = o,

et, en ajoutant,

o= {a: — a)da;-{- {y — b) dy -\- {z — c) dz ^Ld[{x-ay-^ {y-bY-\-{z-cY].

Donc

(^ — a)2+(j— 6)2-+-(5 — c)2=const.

La surface est une sphère.

VARIABLES RÉELLES. l63

175. Considérons maintenant la fonction z définie par l'équation plus générale

¥[x^, ...,Xp, z, 9i(ai, . ..,ap i), 92((3,, ..., (3;,-i), .. •] = <>?

où a,, ..., a^i, p,, ..., !^/7 i, ... désignent des fonctions connues de ^<, ...^Xp, g, et cp,, cp2, ... des fonctions arbitraires. Joignons à cette équation ses dérivées partielles successives des ordres 1,2, . . ., p. Nous obtiendrons ainsi

équations dans lesquelles figureront les quantités suivantes : 1° :r<, . . ., Xp, z et ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre p ;

'1° la fonction cp, et ses dérivées partielles -^y • • • 5 , ? '^ ? • • • jusqu a 1 ordre p, la lonction cp2 et ses dérivées partielles -rr^j ••• jusqu'à l'ordre p, etc. Le nombre / de ces

dernières quantités sera évidemment égal à

n désignant le nombre des fonctions cp<, 02, ....

Donnons successivement à p les valeurs i, 2, 3, .... Il arrivera nécessairement un moment où le nombre k des équations surpassera le nombre /. En effet, en changeant p en

p + 1 , on accroît le nombre des équations de ^ ^ — —,

tandis que le nombre /s'accroît de n— ^' ' ^^ -,

quantité inférieure à la précédente, si p -\- p ^ n(p — i). Donc, dès que p surpassera n(p — i) — /?, k croîtra plus rapidement que / et finira par le surpasser. A ce moment, on pourra éliminer entre les k équations obtenues les fonctions cp,, ..., cp/i et leurs dérivées partielles; on obtiendra ainsi /tr — / équations entre .r,, . . ., Xp, z et ses dérivées partielles