L'équation

œ- -\- y- -\- z^-= cp ( « ^ 4- by -\- cz)

représente un système de surfaces de révolution dont les

parallèles

aœ-\-by-+-cz=za

sont perpendiculaires à l'axe

Ces surfaces salisferont à l'équation

abc

âz âz

jc-^ z—- a -\- C-—

Of doc

âz ^ âz

•^ ay oy

bx — ay=i{cy—bz)-^-^{^az — cx)-^'

180. Une fonction u de plusieurs variables x^ y, z est dite homogène et d^ ordre n si elle peut se mettre sous la

forme

11 résulte de cette équation que z "u est fonction de '— et de — • On aura donc, en égalant à zéro le jacobien, ..du I

du dy du

VARIABLES RÉKLLES. 167

OU, en efl'ectuant les calculs et chassant le dénominateur .s'^"^',

du du du

œ- \- y- hs-r-= nu,

oœ "" ây oz

181. Gomme seconde application de la théorie générale de l'élimination des fonctions arbitraires, considérons un système de p fonctions g, a,, . . ., a^, des p variables indépendantes ;r,, .... Xp^ déterminées par le système des équations simultanées

Fi (^1, . . .,Xp,z, au . . ., «p-i, 9i, ■ . ., 9«) = o, j

Fp(^i, . . ., ^p, ^, ai, . . ., a/,i, 9i, . . ., 9,,) =0,

où CD,, . . ., 'jifi désignent des fonctions arbitraires de a,, . . .,

oLp-i . Nous allons montrer que z satisfait à une équation aux

dérivées partielles d'ordre n, indépendante de ces fonctions.

Formons, en efï'et, la dérivée partielle de F< par rapport

à X\ ; elle se composera :

o Fk . ôFi ôFi âz , • r A

i" JJes termes -; ! r r — > dus a la variation de Xt et

de z] nous les désignerons, pour abréger, par Dj^^.^Fi ;

2" Des termes -; \ — ^ ^-^ h- • . -^j — ? dus a la varia-

\oa(.^ oox oai ) ax^

tion de a, ; nous les désignerons par D^^'Fi -r^\

3" Des termes analogues D^^Fi -r— ^) •••> dus à la variation

des autres paramètres ao, ....

Réunissant tous ces termes, on aura l'équation

Les dérivées partielles par rapport à ^27 • • • donneront de même