CHAPITRE

Éliminant entre ces /? équations les p — ■ i quantités D^/F, D^jFi, . . ., il viendra

âcci doc,

D, Fi

ôx^ dx.2

Ce déterminant, développé, sera de la forme AD,^Fi-i-BD,^F,4-...=:o,

An / 1 r • 1 àa, doc, A, B, ... étant des fonctions de - — , -r — j

Les équations F2= o, ... donneront de même AD,,F2-+-BD,,F2 4-...=:o,

Éliminons entre les équations qui viennent d'être obtenues les rapports des coefficients A, B, . ..; il viendra

Le premier membre de cette équation sera une fonction

âz âz

de x^, ..., Xp, z, —, •••' ^' a<, ..., a^.<, cp^, ..., cp„,

que nous désignerons par F^,.i.

Désignons par D^.Fp^t la portion de la dérivée partielle

de Fp^i par rapport à xi qui provient de la variation de ^/,

âz àz ^ j 1 ^

; on trouvera de la même manière une nou-

velle équation

Fjo4-2 =

dans laquelle figureront, outre les quantités précédentes, les dérivées secondes de z.

Continuant ainsi, on obtiendra une suite d'équations

Fp+i — o,

^ p-hn— ^j

entre lesquelles on pourra éliminer les p — i -\- n quantités aL^, ..., a^<, '•^^^ •-., 'f/o ^^ c["i donnera une équation aux dérivées partielles d'ordre n.

182. Exemple. — Cherchons l'équation aux dérivées partielles des surfaces réglées. On nomme ainsi celles qui sont engendrées par le mouvement d'une droite. Les génératrices d'une telle surface auront des équations de la forme

Fi=r^ — az — a =z o, Y^ — y—bz — ^^o.

Trois conditions sont d'ailleurs nécessaires pour déterminer le mouvement de la droite. Ces conditions permettront d'exprimer trois des coefficients, par exemple <7, 6, p, en fonction du quatrième, a.

Appliquons la méthode précédente. Nous formerons l'équation

àz

dz à/

L'équation suivante sera D.F

dx ou, en remplaçant

dz dy

dx ■'

, dz àz ^ . . 1 r