r— par «-?-. et supprimant le tac
àz teur commun -— ->
o — aD^F^-h bDyF^
= ai a^-^-\- o- — — -f- ^ a- — h Z>-— ^
dx^ dx ây dy-
On trouvera de même l'équation suivante :
0 — Fg^raD^F^H- bDy¥,^
âx^ àx^ ôy dx ôy- ây^
On n'aura plus, pour obtenir l'équation aux dérivées partielles, q-u'à éliminer le rapport — entre les deux équations F/, et F5.
183. Considérons enfin une fonction z définie, ainsi que les paramètres a,, ..., a^,, par un système d'équations de la forme suivante :
i /(^i, .. .,^;„ ^, ai, ..., a^i, cp,, .. .,©,,) =0,
Prenons les dérivées partielles de /par rapport à chacune des variables indépendantes ^',, . . ., Xp. En vertu des équations (12), ces dérivées se réduiront à leurs premiers termes D,.^/*, . . ., Dj. /. On aura donc
Désignons ces équations par
Fi = o, ..., F^nrO.
On en déduira, comme dans le problème précédent, une suite de nouvelles équations
Ces équations, jointes aux précédentes et à la primitive f=z o, fourniront un système ào. p -\- n équations, entre lesquelles on éliminera a,, ..., ay,,, cp,, ..., cp,/. L'équation résultante sera encore de l'ordre n. En effet, F<, ..., F^ contiennent z et ses dérivées partielles du premier ordre; F^^) contiendra, en outre, celles du second ordre, etc. ; enfin F^^^„, contiendra celles du a?'*""^ ordre.
184. Exemple. — Cherchons l'équation aux dérivées partielles des surfaces déçeloppables. On nomme ainsi celles qui sont définies par le sjstème des deux équations
i^y — 7 = 0' Da/=o,
^ et Y étant des fondions de a.
On en déduira, d'après la méthode précédente.
puis
rt
Ce sera l'équation cherchée.
Proposons-nous réciproquement d'intégrer cette équation. Considérons, à cet effet, les inconnues auxiliaires
et
M -=zz—px — qy.
L'équation rt — 5-= o exprime que le jacohien de p et de q est nul; mais elle exprime aussi que celui de /> etdeV, lequel est égal à
r rx -\- sy s SX -h ty
^{rt-s'')y.
est nul. On aura donc
(i3) z—px^f{p)y -^(^{p).
11 reste encore à exprimer que/» et ^ sont les dérivées partielles de ^, c'est-à-dire que
dz — pdx^q dy—pdx -^f{p) dy.
Mais, en différentiant la valeur ci-dessus trouvée pour z^ il vient
dz-=pdœ^f{p)dy-^[x-+-yf'{p)^,^'{p)-]dp^o.
Si dp = o, p est une constante et l'équation (i3) représente un plan.
Dans le cas contraire, la surface sera développable, :; et p étant définis par les deux équations simultanées
Z^pX-\-f^p)y +9(/j),
VARIABLES COMPLEXES. lyS
