Soit E un ensemble borné, formé des points

Les écarts de ces points, pris deux à deux, forment un

ensemble de nombres positifs qui est borné. Il admet donc un maximum d que nous appellerons le diamètre de l'ensemble E.

36. Nous allons cliercher, d'autre part, à préciser la notion de \ étendue de cet ensemble (à laquelle nous pourrons donner en particulier le nom de longueur, d^ai/e ou de volume^ lorsque le nombre des dimensions se réduit à i, 2 ou 3).

Considérons, pour fixer les idées, le cas de deux dimensions. Chaque point (u^ ^) de E pourra être représenté géométriquement sur un plan dont u el v sont les coordonnées. Décomposons ce plan, par des parallèles aux axes coordonnés, en carrés de côté ;•.

L'ensemble de ceux de ces carrés qui sont intérieurs à E forme un domaine S intérieur à E; l'ensemble de ceux qui sont intérieurs à E ou qui rencontrent sa frontière forme un nouveau domaine S + S' auquel E est intérieur. Ces domaines ont des aires déterminées que nous représenterons également par S et S 4- S'.

Faisons varier notre décomposition en carrés, de telle sorte que r tende vers jséro ; les aires S <?^ S -f- S' fendront vers des limites fixes.

En effet, considérons, par exemple, les aires S. Celles de ces aires pour lesquelles /' reste au-dessous d'un nombre fixe p sont bornées, car elles sont toutes contenues dans un même carré de côté M — m-f-20, M et m désignant le maximum et le minimum des coordonnées u, ç dans l'ensemble E. Soit A leur maximum. On pouria trouver une décomposition déterminée pour laquelle S prenne une valeur S, plus grande que A — £. Soit 0 l'écart entre la frontière de E et celle du domaine S|. Considérons une autre

1 , • • 1 , .Or,,

décomposition quelconque ou /• soit << -• L écart maximum

de deux points d'un même carré y sera <; ù. Donc tous ceux de ces carrés dont un point appartient à S< seront en entier

dans rintérieur de E. Donc le domaine S contiendra S,, et

l'on aura

S^Si > A — s;

d'autre part, S^A. Donc les sommes S auront bien une limite égale à A.

D'autre part, les aires S -f- S', n'étant pas négatives, sont ])ornées inférieurement, et admettent un minimum a.

Il existera une décomposition déterminée pour laquelle S H- S' prendra une valeur S, + S\ moindre que a -\- t. Soit ô l'écart des frontières de E et du domaine Si + 8',. Considérons une autre décomposition quelconque où /• soit

<C — • Tous les carrés dont un point appartient à E ou à sa

frontière seront intérieurs à S, + S'^. On aura donc

D'autre part, S + 8'^ a. Donc a est bien la limite des sommes S + S'.

Comme on a S + S'^ S, a sera au moins égal à A.

Nous appellerons A Vaire intérieure de E, a son aire extérieure. Si S' a pour limite zéro, nous dirons que E est quarrahle et qu'il a pour aire la quantité « = A.

37. Soit E' un nouvel ensemble intérieur à E. L'aire extérieure de E', et a fortiori son aire intérieure, seront moindres que Faire intérieure de E. Soit, en eft'et, o l'écart des frontières de E et de E'. Si l'on décompose le plan en

carrés de coté << y> il est évident que tous les carrés non

extérieurs à E', et aussi les carrés adjacents, sont intérieurs à E. L'aire intérieure de E surpasse donc l'aire extérieure de E' d'une quantité au moins égale à la somme de ces derniers carrés.

38. Supposons enfin E formé par la réunion de plusieurs ensembles partiels E,, Ea, . . ., et considérons une décompo-

3o PREMIÈRK PARTIE. — CHAPITRE I.

sition quelconque du plan en carrés. Soient respectivemenl S, $1, S2, ... les sommes des carrés intérieurs à E, E,, E2, ...; S', S^, S'2, ... celles des carrés qui rencontrent leurs frontières. Tout carré intérieur à l'un des ensembles E,, E.j, ... l'est à E, et, d'autre part, tout carré non extérieur à E est nécessairement non extérieur à l'un au moins des ensembles E,, E^, . . .; on aura donc

et, en passant à la limite,

A<, A2, ... et a,, «25 ••• représentant les aires intérieures

et extérieures de E,, E.^, Les inégalités ci-dessus se

changent d'ailleurs en égalités, si E, , E2, ... sont quarrables.

39. On peut concevoir une infinité de décompositions du plan en régions élémentaires quarrables At,, Ao-o, ... dont le diamètre ne surpasse pas un nombre donné p. Considérons une suite quelconque de découipositions de ce genre, dans laquelle p tende vers zéro. La somme S At, étendue aux éléments intérieurs à E, aura pour limite A, aire intérieure de cet ensemble.

Nous pouvons, en effet, déterminer une décomposition du plan en carrés, telle que la somme S des aires des carrés intérieurs à E soit ;> A — £ ; soit 5 l'écart des frontières de E et de S. Dès que p sera devenu << 0, tout élément Aa- qui a un de ses points dans S sera tout entier intérieur à E. L'aire !i^ At contiendra donc à ce moment l'aire S, et sera >A — s. Mais, d'autre part, elle ne peut surpasser A. En effet, soit 5' l'écart entre sa frontière et celle de E; concevons une autie

è' décomposition en carrés, de coté ■< — • Tous ceu v de ces

carrés qui ont un point commun avec l'aire S Aa- seront inté-

VARIABLES RÉELLES. 3l

rieurs à E. J^a somme Si des aires des carrés intérieurs est donc au moins égale à S At; mais elle ne surpasse pas A.

Donc A est bien la limite des sommes S Aa-.

On voit, de la même manière, que la somme S Aa-, étendue, non seulement aux éléments intérieurs à E, mais aussi à ceux qui rencontrent sa frontière, a pour limite l'aire extérieure a. Par suite, la somme ci-dessus, bornée à ces éléments frontières, tendra vers zéro, si E est quarrable.

40. Les considérations qui précèdent sont évidemment applicables aux ensembles d'un nombre quelconque de dimensions. On pourra déterminer, pour chacun d'eux, une étendue intérieure ou une étendue extérieure. Si celles-ci coïncident, l'ensemble sera mesurable.