I. — Fonctions synectiques

18o. fj introduction des nombres irrationnels ne suffît pas encore pour rendre résolubles toutes les équations algébriques. Il est nécessaire pour cela de faire intervenir une dernière notion, celle des nombres complexes^

Soit P == A/'^^+ Bi"^~' +. . .+ K un polynôme entier, à coeflîcients réels, contenant une indéterminée i. En le divisant par i- + i , on obtiendra un résultat de la forme

Nous conviendrons de négliger les multiples de /^H- i , et de considérer comme équivalents, et représentant un seul nombre complexe (ou imaginaire) ^ tous les polynômes qui donnent le même reste. Parmi ces polynômes, le plus simple est le reste a + bi lui-même, qui sera la forme normale du nombre complexe. La manière la plus simple de former ce reste consiste à remplacer partout dans P /- par — i, P par — /, i'* par H- I , i^ par /, etc.

Si Z> = o, ce nombre sera réel; si a = o, on dira qu'il est purement imaginaire ; si a ^ 6 := o, il sera nul.

Un nombre complexe a -\- bi peut être représenté géométriquement par un segment de droite, dont les projections sur deux axes rectangulaires 0.r et Oy soient respectivement a et b. Soient p la longueur de cette droite, cp l'angle qu'elle

fait avec OX; on aura

pcoscp = a, psin(p==è,

p = sJà^ H- 6^, cosQm— , sinco = — •

La quantité p, qui doit être prise positivement, se nomme la valeur absolue ou le module de a + hi\ on la représente par la notation | « -(- è« | ou mod (a -+- bi\

L'angle cp est V argument de a -|- bi\ il n'est déterminé qu'aux multiples près de 2 7r, lorsque a et b sont donnés. Le module, au contraire, est entièrement déterminé; il ne s'annule que si l'on a simultanément a = o, /> = o, d'où a -\- bi ^= o.

Deux nombres complexes a -\- bi et a — bi^ qui ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire, sont dits conjugués entre eux. Ces nombres ont le même module, ainsi que les nombres — a — bi^ — a + bi^ qui leur sont égaux et opposés.

Si la droite représentative du nombre a -\- bi di son point de départ à l'origine des coordonnées^ son autre extrémité sera au point x = a, y=zb. Ce point se nomme \ affixe de a -j- bi.

186. Soient a + bi^ a' -\- b' i, . . . des quantités complexes. Leur somme

sera évidemment représentée par la résultante des droites qui représentent séparément les nombres a + bi, a' -+■ b' i, .... D'après les propriétés connues de la résultante, nous pourrons énoncer la propriété fondamentale suivante :

Le module d'une somme de quantités complexes ne peut surpasser la somme de leurs modules; mais, d'autre part, il est au moins égal au plus grand de ces modules, diminué de la somme des autres.

On peut remarquer encore que, si les directions des droites

composantes sont toutes comprises dans l'intérieur d'un angle d'ouverture inférieur à tt, la résultante j sera également contenue.

Donc, si les fermes d'une somme ont des arguments dont les différences mutuelles soient toutes <C î^, l'argument de la somme sera intermédiaire entre les arguments de ses termes.

La difFérence de deux nombres complexes a + 6«, a' -\- b' i sera définie par l'expression

dont le module sera compris entre la somme et la difFérence des modules des deux nombres a -\- bi^ a! ~\- b' i.

187. Le produit des deux nombres a -f- bi^ a' -{- b' i sera donné par la formule

{a H- bi) (a' H- b' i) — aa' -^ {ba' -\- ab')i -^ bb'i^, ou, en divisant par i--\- i et ne gardant que le reste,

{aa'— bb') ^ {ba'-h ab')l.

Ce résultat prend une forme plus intéressante si l'on met en évidence le module et l'argument des deux facteurs considérés ; on aura alors

et, pour le produit,

Donc le module d'un produit est le produit des modules des facteurs, et son argument la somme de leurs arguments.