Le rapport des deux nombres a -{- bi et a! -\- b' i

sera le nombre x -\~yi qui, multiplié parle diviseur, reproduit le dividende. On devra donc avoir

a-{- bi^z (a'-H b' i) {x -h/0 = a' x — b' y + i{b' x 4- a' y).

Cette équation se décompose dans les deux suivantes, a' X — b' y = «, b' X -h a' y = b,

d'où l'on tire

aa' + bb' ba' — ab'

Le problème comporte donc une solution unique et toujours admissible, si le diviseur a' -{- b' i est ditlérent de zéro.

11 est manifeste que les règles du calcul algébrique s'étendent aux nombres complexes.

189. On dit qu'un nombre complexe variable x -\- iy tend vers une limite fixe c -4- <^/, si

I ^' + ^y — (c + di) I = v^(^- — cf^ (/ — df

tend vers zéro.

Cette expression est au moins égale à | a; — c\ et à \y — d\. Elle ne peut donc tendre vers zéro que si x tend vers c et v vers d.

Cette condition est suffisante, car on a

\x -{-iy — c — di\^\x — c\ 4- \y — d\,

et les deux termes du second membre tendent vers zéro, si x tend vers c et y vers d.

Les propriétés des modules d'une somme algébrique ou d'un produit démontrées aux n"* 186 et 187 sont précisément les mêmes qui ont été signalées au n"* 6 dans le cas particulier des nombres réels et qui ont servi de fondement dans le paragraphe 11 pour l'étude des ensembles. Les propriétés trouvées dans ce paragraphe subsistent donc dans le cas où les variables x^ y^ ... parcourraient non pbis la suite des nombres réels, mais celle des nombres complexes.

190. Soient r, y, ' ' ' des variables indépendantes réelles, P et Q des fonctions réelles de ces variables, définies dans Fintérieur d'un domaine E et admettant des dérivées partielles continues. La fonction complexe u = P -\- /Q admet-

j j, . , ' u àP .ÔQ âP .âO , ,

tra des dérivées partielles -r \- i-r^y -^ h i -t-^> • • • esale-

^ ojo 00c ay oy

ment continues, et son accroissement Aw, lorsqu'on passe du

point (^, jK, . . .) au point [x + A^, y -\- Ay, . . .) sera de la

forme

. (dP .dq\ . (dP .àQ\.

R, S, R<, S<, . . . tendant vers zéro avec A^', Aj^, ... (et cela uniformément dans tout ensemble E< borné et parfait intérieur à E).

Supposons les variables ^, JK, • • • en nombre pair; représentons-les par a>j y^ x^^ y^^ ... et formons les combinaisons complexes

z—x-^iy, z^—x^^iy^,

On aura

A^ = A^ H- i A/, A^i = A^i + i A/i , . . . , |A^| = |A^| = Aj|, |A.,| = |A^,| = |A7,|.

L'expression

(R-l-SOA^H-(Ri+SiO A/ + ...

pourra donc se mettre sous la forme

pA^ + pi A^i + ..., les quantités

p=(R-+-So|f H-(Ri + S.o|^'' p, = ...,

tendant encore vers zéro en même temps que A^, Ay, A^^, Ay, , ... (et cela uniformément dans E, ).

Si, d'autre part, nous supposons les dérivées partielles

<^P ÔQ dP âQ ,., . , .

-— ) -T-^) -— -? -r^> • • • liées par les relations OJ^ ox oy dy ^

les termes de la première ligne de l'expression de Aw pourront s'écrire ainsi :

— (^ Hi^\ A-4-/^— 4-i-^^A- + \dx doc) ^ \dJC]^ âa^ij "*

On aura donc finalement

âp

~ày'

Oy ~

dP

dQ

-dy:

àQ

dj^i'

{ +pA:; + piA^i +

Lorsque les conditions ci-dessus seront satisfaites, nous dirons que u est dans l'intérieur de E une fonction synec-

tique des variables complexes ^, ^i, Les termes de la

première ligne du développement (2) seront sa différentielle totale du.

Posons, en particulier, A.î, = o, A^o^o^ •••; nous aurons

A^^ dP .dO

A^ dx dx '

01 A^ tend vers zéro, -r-j tendra vers une limite -r h i -r^y

indépendante du rapport des deux infiniment petits Ax et

Ay. Cette limite se nomme la dérivée partielle de u par

1 • 11 au

rapport a 5 et se représentera par la notation usuelle -r^-

Si u ne dépendait que d'une seule variable complexe, on

l'appellerait simplement la dérivée de u et on la représente-

du , \

rait par -7- ou w . 1

La fonction u admettra de même, par rapport aux autres variables z^^ . . ., des dérivées partielles

dzi âxi dXi

Toutes ces dérivées -r-y -r — 5 • • • seront d'ailleurs des foncoz dzi

tions continues de ^, y , ^i , y i ,

191. Réciproquement, pour que l'expression P + Q/, où P, Q sont des fonctions de ^', j, ^,, jr,, ... définies dans

l'ensemble E, admette des dérivées partielles continues — >

-r— j • • • indépendantes, la première du rapport de A^ à Ay,

la seconde du rapport de ^x^ à A>^, , etc., il faudra que P et Q

admettent des dérivées partielles continues -—y ---^, -r— ,

'■ ' ox ôx oy

-~} • • • liées par les relations (i).

En effet, changeant ^ en :r H- Ax^ sans altérer y, ;r < , y < , . . . ,

on aura

Aw Au __ APh-^AQ

Ai; ~~ A^ ~ Ax

Pour que cette expression tende vers une limite fixe -r— >