Polynômes entiers. — Considérons un polynôme

P (^) — Xz^'-hBz"'-' + . . .4- K,

où :; est une variable complexe, A, B, . . . , K des nombres complexes quelconques.

Cette expression a une valeur déterminée pour toute valeur de z.

D'ailleurs, si nous posons, pour abréger,

P'(^) = mA5'"-i+(m — i)B^'«--H- ...,

P"{z) = m{m—i) Az'^'-^-h {m— i){m— 2)Bz"'-^-^. . .,

nous aurons

d'où

hm

VAHIABLES COMPLEXES. 2o3

=zP'(^).

Donc P(2) est une fonction sjnectique ayant pour dérivée F (-s).

Si 1^1 tend vers oo, il en sera de même de | P(^)|. On a, en effet,

|P(^)l^hl"MIA|-

et, si l'on suppose | (5) | > i ,

■'(^)i;i^i6Ai-''^'^;:;^''^')>iAihi-(iBi+...+iKi

Donc, £ désignant une quantité positive quelconque, | P(5) |

sera >> s dès que \z\ sera ^ 8, S désignant une constante

|B|-i-...-h|K|-^£ plus grande que 1 et que TTl —

210. U équation P (5) = o admet toujours au moins une racine.

Donnons en effet à z une valeur quelconque c ; soit s la valeur correspondante de [P(2)|. La constante 8 étant déterminée comme ci-dessus, considérons l'ensemble des valeurs de z dont les affixes ne sortent pas d'un cercle G de rayon ù, ayant pour centre l'origine des coordonnées.

Cet ensemble étant borné et parfait, | P (5) |, qui varie d'une manière continue avec z^ y admettra un minimum jx au plus égal à £, qu'il atteindra effectivement pour une valeur déterminée u de s. Cette valeur sera intérieure au cercle C, car sur le cercle | ^ | = 5 et | P [z) \ >> s.

Nous allons démontrer que ce minimum est nécessaire-

2o4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.

ment nul. Supposons, en efïet, qu'on eût

lJ. = \P{a)\>o.

Donnons à z une valeur a + /z, h étant une quantité complexe assez petite pour que le point a + A soit encore dans le cercle G ; nous allons voir qu'on pourra déterminer h de telle sorte que | P (a + A) | soit <; | P (a) |, ce qui implique contradiction.

On a

P{a^h) = P{a)-^-hP'{a)-h...-hh'

Le terme en h"'^ dans ce développement a pour coefficient

=: A, quantité différente de zéro. Mais les coeffî-

cients des autres puissances de h peuvent être nuls.

Supposons, pour fixer les idées, que le premier terme dont le coefficient ne soit pas nul soit le terme en h^. Notre développement prendra la forme

On en déduit

|P(a + /i)| = |P(«) + Bo/?>^|H-|BJlA|^^^-h...H-|B,„x|i/r'". Prenons le module de h assez petit pour qu'on ait

|/il<., |B„| lA|<|P(a)|, • ■ ■■

et déterminons son argument par la condition A arg/i-h argBo= argP(«) + n.

Les deux quantités P(«) et BqA^ ayant des arguments qui diffèrent de tt, et ] P (a) \ étant >> | Bo/i^|, on aura

|P(a)4-BoA>^| = |P(a)|-|Bo| 1^1^

et, par suite,

|l>(a4-/0|:;|P(a)|-IB„l |Ap + |B.| |A|X+i + ..., |P(« + A)|-|P(a)|;|A|M-|B.| + lB,| |/,| +...],

VAUIABLES COMPLEXES. 20D

Le facteur entre parenthèses tend, lorsque |A| tend vers zéro, vers la quantité négative — |Bo|. Donc, en prenant I h\ suffisamment petit, on aura

]1 est donc établi qu'on peut donner à z une valeur a, telle que l'on ait

|P(a)| = o, d'où P(a) = o.