Divisons P(^) par le binôme z — a; il viendra
le quotient P^ (z) étant un polynôme de degré m — i et R
une constante. Posant d'ailleurs dans cette identité z = a,
elle devient
On aura donc, plus simplement,
En opérant sur P, (z) comme sur le polynôme primitif, on le mettra de même sous la forme du produit d'un binôme :; — b par un polynôme P2(^) de degré m — 2, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à une simple constante C. On aura finalement
D'ailleurs, en divisant les deux membres de cette égalité par z"^, puis faisant croître z indéfiniment, il viendra à la limite
et, par suite,
Viz) = A{z-a){z-b)....
Nous^obtenons donc ce théorème fondamental :
Tout polynôme P (^) de degré m peut être mis sous la forme du produit de son premier coefficient A par m binômes du premier degré z — a^ z — 6, ....
Sous cette forme, on voit immédiatement que les racines
^06 PREMIÈKE PAKTIE. — CHAPITRE H.
de l'équation P (2)1=0 sont les quantités «, ft, .... Elles sont au nombre de m si les facteurs :; — a, z — 6, ... sont différents. Si a d'entre eux sont égaux à z — «, on dira que a est une racine multiple, dont Vordre de multiplicité est a. D'après cette convention, le nombre des racines, comptées chacune avec son ordre de multiplicité, est toujours égal à m.
212. Soient a, 6, ... les racines distinctes de l'équation P (5) =: o; a, p, ... leurs degrés de multiplicité. On aura
P(5)r=zA(5 — a)«(5— 6).8...
et, en dérivant,
V'{z)=(xPs.{z — a)'^-^{z — b)^...
Tous les termes de cette expression sont divisibles par ■{z — aY sauf le premier, qui ne l'est que par {z — a)°'~'. Donc la dérivée P' {z) admet la racine a avec l'ordre de multiplicité a — 1. De même, elle admettra b avec l'ordre de multiplicité ^ — 1, etc. Quant aux racines simples de P (^), elles ne seront plus racines de P'(^).
Soient donc P, le produit des binômes z — a qui correspondent aux racines simples de l'équation P = o; Po le produit des binômes correspondant aux racines doubles, etc., de telle sorte qu'on ait, à un facteur numérique près,
Le plus grand commun diviseur de P et de sa dérivée P' sera (à un facteur numérique près)
delui de Q et de sa dérivée Q' sera, de même,
On en déduit, par la division,
PPP — —, PP — -^,
et, en divisant de nouveau chacune de ces expressions par la suivante, on obtiendra enfin P, , P2, P3, ....
Ainsi P<, P2, P3, ... peuvent s'obtenir par de simples divisions.
213. Fractions rationnelles. — On nomme fonctions algébriques celles qui sont liées à la variable indépendante par une équation de la forme IT (</, z) = 0, où H est un polynôme entier; fonctions transcendantes celles qui ne jouissent pas de cette propriété.
Les fonctions algébriques les plus simples, après les polynômes entiers, sont \es fractions rationnelles, définies par une équation du premier degré en w,
Q et P étant des polynômes en z^ qu'on peut supposer sans facteur commun.
En résolvant cette équation, on obtiendra u sous la forme explicite
Cette expression a une valeur bien définie pour toute valeur de s, sauf lorsque z est racine de l'équation Q = o. Soient a l'une de ces racines ; a son ordre de multiplicité.
Si l'on fait tendre z vers a, -^ sera infinie d'ordre a.
La fraction ^ a une dérivée — r^t — également bien
définie pour toute valeur de z qui n'est pas racine de Q. Celle-ci a une dérivée de même nature; elle est donc con-
tinue. Ainsi -^ est une fonction synectique de z dans tout
le plan, à l'exception des racines de Q = o.
2o8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
Si a est une racine de Q d'ordre de multiplicité a, Q sera divisible par (^ — a)°', Q' par {x — <^)°'~', et P sera premier
à X — a. La dérivée — V^ — — ? réduite à sa plus simple
expression, contiendra donc x — « en dénominateur à la puissance a -f- 1 , et deviendra infinie d'ordre a + i pour X =^ a.
214. Supposons que Q ait été décomposé d'une manière quelconque en un produit de deux facteurs Q, et Qo premiers entre eux. On pourra déterminer deux polynômes M,, Mo, tels que l'on ait
M,Q,-hM2Q2=i, el, par suite,
P P PÇMiQi + M^Qa) PM^ PM2
* Q"'QiQ2~ Q1Q2 ~ Q2 "^ Qi*
La fraction -^ est donc la somme de deux autres, ayant
respectivement pour dénominateurs Q, et Q2.
Si l'un des facteurs Q,, Q2 était lui-même un produit de deux facteurs premiers entre eux, on pourrait décomposer de nouveau la fraction partielle correspondante en une somme de deux autres fractions, et ainsi de suite.
215. On donne le nom de fraction simple à une fraction dont le numérateur est une constante et le dénominateur une puissance d'un binôme x — a.
On déduit aisément des remarques qui précèdent cette proposition fondamentale :
Toute fraction ^peut être déconuposée en une somme
de fractions simples, augmentée d^ un polynôme entier.
Nous pouvons tout d'abord supposer que le coefficient de la plus haute puissance de z dans Q se réduise à l'unité; car on n'altère pas la valeur de la fraction en divisant simultanément P et Q par ce coefficient.
Cela posé, décomposons Q en ses facteurs du premier
Q = (z~ar{z-b)^....
degré; soit
Les facteurs (z — a)", (z — b)^, . . . étant premiers entre eux, on aura, d'après les propositions précédentes,
P Fjz) G{z)
F, G, . . . étant des polynômes entiers.
Considérons l'une des fractions partielles, telle que
{z-a)^' Posons
zz=ia-\- h\
F (^) développé suivant les puissances de h prendra la forme Aa4- Aa i /i + . . . H- AA«-^ -4- /z^'O ( A),
<I> (/i) étant un polynôme entier.
On aura, par suite,
F (s) Aa . Aa, , . A
{z — aY h"" h^-^ h
et, en remettant pour h sa valeur z — a,
F(^) ^ Ag A
c'est-à-dire une somme de fractions simples, plus un polynôme entier.
Opérant de même sur chacune des fractions partielles, il viendra finalement
-^ z-lb^'
^ (s) étant un polynôme entier.
2IO PllEMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE H.
Le degré de ce polynôme W est aisé à calculer a priori. Supposons, en effet, que Q soit de degré m et P de degré
m 4- jj.. Si |-g| tend vers oc, pr tendra aussi vers oc et sera infini d'ordre m. Il doit en être de même du second membre. Mais les fractions qu'il contient tendent vers zéro. Donc ^F doit être un infini d'ordre a. Donc [Ji est le degré du polynôme.
On verrait de même que ^F doit se réduire à une constante si P est de même degré que G, et dis para itre complètement, si P est de moindre degré que Q.
Connaissant ainsi le degré du polynôme ^', il sera facile de déterminer ses coefficients, ainsi que les constantes A, B, .... Il suffira, après avoir chassé les dénominateurs dans l'équation (i), d'identifier les coefficients des mêmes puissances de z dans les deux membres. On obtiendra ainsi un système d'équations linéaires pour déterminer les coefficients inconnus.
Î216. Il est souvent préférable d'employer le procédé suivant, qui a l'avantage de montrer que la décomposition ne peut se faire que d'une seule manière.
Posons z=^ a-\- h dans l'équation (i) ; il viendra
P(«-h/i) = P(«)-f-AP'(a)-h...,
Effectuons la division de ces deux polynômes ainsi ordonnés suivant les puissances croissantes de /i, et arrêtons-nous au moment où nous aurions à écrire au quotient des termes ne contenant plus h en dénominateur. Nous aurons ainsi
Xa, ... «^M étant des constantes et R un polynôme entier.
Le second membre de l'équation (i) devient, par la même substitution,
/i« Il a — b ^ Il
Nous avons donc identiquement
Aa Al Bi
A^ A a—b-v- Il
Multiplions les deux membres par li^-^ puis faisons h = o. Il viendra cl)a= A^.
Supprimons les deux termes égaux '-7^ et y-^j multiplions
par li^~^ et faisons h =z o ] il viendra <Jl>a i = Ao(< , . . . .
Les coefficients A^, ..., A, sont donc déterminés sans ambiguïté par les relations
Aa=:cA.,a A^— X^.
On calculera de même les coefficients B,, . . . , Bp relatifs à une seconde racine 6, et ainsi de suite.
Reste à calculer le polynôme entier W (^), dont on connaît déjà le degré ^.
Soient
F rr: M G'"+H' -+- Mi ^'"+^--1 H- . . . , Q=N^'« |]\^'«-i 4-....
On trouve par la division '
p-, ^ii ... étant des constantes et R s'annulant pour z = œ. Soit d'autre part
On aura l'idenlité
Divisant par z^ et faisant s = oo, il viendra p == s. Supprimant les deux termes égaux p^f^, sz^^ divisant par zV'~^ et faisant i; = oo, il viendra p< ^ 5, , ....
217. Supposons, en particulier, que Q {z) n'ait que des racines simples et soit de degré m, P (s) étant de degré <; ///. Soit a l'une des racines de Q ; on aura
En second lieu, le poljnome W (z) n'existeia pas. La formule de décomposition sera donc
lu
la sommation s'étendant aux diverses racines a de Q (5). Multiplions cette équation par z et faisons 5 = 00 ;
ayant pour limite l'unité, il viendra
lim
Si P (^) est de degré m — i , le second membre a pour limite
-j^) M et N étant les premiers coefficients de P (^) et de
Si, au contraire, le degré de P {z) est <C tn — i , la limi-te sera nulle, et l'on aura
VARIABLES COMPLEXES. 2l3
