IV. — Fonctions algébriques
218. Passons à l'étude des fonctions algébriques, définies par une équation de la forme
OÙ M, , ... , M/i sont des poljnomes entiers en z.
Nous pouvons supposer le polynôme /{u-, z) irréductible, c'est-à-dire non décomposable en un produit de facteurs de même nature; car, s'il était réductible, on n'aurait qu'à étudier séparément les équations obtenues en égalant cliaque facteur à zéro.
Pour chaque valeur particulière de z^ l'équation (i) donnera en général, pour u^ n valeurs distinctes m,, ..., w„. Ce résultat souffre toutefois deux exceptions :
i** Si :; est racine de l'équation M = o, le degré de l'équation en u s'abaisse au-dessous de /?, et une ou plusieurs racines disparaissent.
2° L'équation (i) peut avoir des racines égales. Dans ce cas, le produit
(2) ^■==,\iW'{ui—Uky
est égal à zéro. Or ce produit, étant symétrique par rapport aux quantités Mw», M Mo, . . ., est un polynôme entier en z. L'équation /= o admettra donc n racines distinctes, sauf pour les valeurs de z qui satisfont à l'une des équations
M = o, Nn^O.
Ces valeurs exceptionnelles, en nombre limité, ont reçu le nom de points critiques. Les autres valeurs de z sont des points ordinaires.
219. Soit G un contour continu, fermé, sans point multiple, et laissant à son extérieur tous les points critiques. Les points non extérieurs à G forment un domaine E, d'un seul
2l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
tenant; et si z est assujetti à rester dans ce domaine, à chacune de ses valeurs correspondront n racines Wi, . . . , u,i de l'équation y= o.
Nous allons montrer tout d'abord que, dans ces conditions : 1° les modules |wt |, . . . , | w„ | ne peuvent surpasser un nombre fixe {jl; 2° les modules \u^ — «o h - - -> \ui — Uh\ ne peuvent être inférieurs à un autre nombre fixe v, plus grand que zéro ; 3'' les modules des rapports
âz ' ôui
ne peuvent surpasser un nombre fixe m.
Soit, en eff'et, a le maximum de |;3| dans le domaine E. Tout polynôme entier en^, tel que SA^^', aura son module au plus égal à la quantité fixe
En particulier, N, M, M<, . . ., -^, ""77^' • • • ^^^^ ^^^ Polynômes de ce genre; donc | N |, |M|, [M, |,
'dT
assigner; soit b la plus grande d'entre elles. D'autre part, M est de la forme
K{z — z,)...{z — Zj,),
où ^1, ..., Zp sont des points critiques. Si 0 désigne la distance du contour G au point critique le plus voisin, chacun des modules \z — ^, |, . . . , \z — Zp\ sera au moins égal à 8 en chaque point de E; donc | M | ne peut s'abaisser au-dessous du nombre fixe | A| 8^', que nous désignerons par c. On trouvera de même pour | N | une borne inférieure c' .
Gela posé, soit [jl la plus grande des deux quantités i, — ;
on aura, pour toutes les valeurs considérées de z et pour
• j admettent des bornes supérieures qu'on peut
VARIABLES COMPLEXES. 2l5
toute valeur ç de la variable u dont le module surpasse [ji,
\/{v,z) 5|M||.|«-|MJ|.|-i-...-|M„|
= c\ç\^— 6(|r|'^-»H- |p|'^-2-h...-f-i) > c\ r|«— /l^|('|«-^ = c\ (;|«-i(|r| — |ul)>o.
Ainsi (' ne peut satisfaire à l'équation f=o. Donc les modules des racines | Wj |, . . ., | u„\ ont pi pour borne supérieure commune.
Les quantités |«< — W2|,...,|m/ — Uf(\ auront donc pour borne supérieure 2^. L'équation (2) donne d'ailleurs
d'où, en remplaçant |N| par sa borne inférieure c', et tous les facteurs du second membre, sauf l'un d'eux \ui — u/f\, par leurs bornes supérieures,
Donc I Ui — Uk I a pour borne inférieure la quantité
2{J. \Jc'
Quant à la dérivée partielle
dz — dz ' "^ dz ' "^•••'
elle a pour borne supérieure de son module la quantité
biJ."^-h bix'^-^-h ....
On a enfin
f{u,z) — M{u — Ui)...{u — u„).
Prenant la dérivée partielle par rapport à u et posant ensuite u z= Ui, il viendra
2l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 11.
expression dont le module a pour borne inférieure
Le module du quotient
àfiffn z)Jf{u,,z) dz ' dui
a donc pour borne supérieure la quantité
220. Ces préliminaires posés, choisissons, à volonté, pour chacune des valeurs de la quantité complexe z=^ x -{- yi, une des n racines dey=: o. L'ensemble des racines ainsi choisies sera une fonction U des variables x^ y.
Cherchons à diriger notre choix de telle sorte que celle fonction soit continue.
Nous démontrerons le lemme suivant :
Si deux fonctions \] {^ U2, déterminées comme ci-dessus, sont continues dans tout le domaine E, et ne sont pas identiques, elles ne seront égales en aucun point de E.
En effet, d'après nos hypothèses, |U, — U2I sera une fonction continue de x^ y. D'ailleurs, en chaque point z de E, U< et Uo sont des racines de l'équation /(«, z) = o. Si ces deux racines sont identiques, on aura
Si elles sont différentes, on aura au contraire
Puisque Ui et Uo ne sont pas identiques, il existera au moins une valeur de z pour laquelle le second cas se présentera. D'ailleurs, les valeurs de | Ui — U2 | doivent former un ensemble d'un seul tenant (64). Donc lU, — Uo |, ne pouvant prendre les valeurs intermédiaires entre v et o, ne pourra s'annuler.
Le nombre des fonctions continues distinctes qu'on peul former ne saurait donc surpasser le nombre n des racines de réquationy= o, et, s'il existe n semblables fonctions U,, ..., U,^, les valeurs de ces fonctions, étant constamment différentes entre elles, reproduiront, pour chaque valeur de z^ la suite complète des racines de cette équation.
221. Nous allons montrer réciproquement qu'on peut j^rouper ensemble les valeurs de u correspondant aux divers points de E de manière à constituer n fonctions continues distinctes U<, . . . , U/^.
Dans la démonstration de cette proposition, il nous sera permis de supposer que C est un contour polygonal. En effet, nous savons qu'on peut déterminer un contour polyj^onal ^\ sans point multiple, contenant G dans son intérieur et dont tous les points soient à une distance de G moindre que S. Tous les points critiques seront encore extérieurs à ce contour ^ . Or, si le théorème est vrai pour le contour ^, il le sera évidemment pour le contour intérieur C.
Si le théorème est vrai pour deux contours polygonaux ^& ^= z^az^z-Q^ ^" z=^ z^z^bzQ ayant un côté commun z^Zi {fis- '^)') ^^ ^^ sera pour le contour polygonal <!' = z^az^ bz^ résultant de la réunion de leurs autres parties.
Fis:. 3.
Soient, en effet, U'^, ..., U,^ les n fonctions U relatives au contour ^'; U'^', . . ., UJ^ les n fonctions relatives à ^". Posons
'-yo:
Zi=z a^i-h lYx'
2l8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE H.
Un point z- situé sur la ligne ^o^i aura pour coordonnées
^ = ^0+ {•ri — j^o)t, y = yo-^ (ri— jo)^
/ désignant le rapport des distances zZq et ^, ^o-
Si le point z =zx-{-yi décrit la ligne ZqZ, t variera de o
à I , et ^, j^ seront des fonctions continues de t.
Les valeurs des diverses fonctions U'^, . . ., U,'^ au point :;o
sont les diverses racines ii\^ . . ., il\ de l'équation
Il en est de même pour les fonctions U^, . . ., U"^. On pourra associer une à une ces fonctions aux précédentes, en joignant ensemble celles qui prennent la même valeur en 5o.
Soient, par exemple, U^- et U^- les deux fonctions qui prennent la valeur «)•. Ces deux fonctions seront égales le long de la ligne z^z^.
En effet, U'^ est continu par rapporta x^ y qui, sur la ligne ^o-s<, sont des fonctions continues de t. Donc, le long de cette ligne, U^- est une fonction continue de t, 11 en est de même pour U^- et, par suite, pour | U". — U^|.
La quantité ^, variant de o à i, parcourt un domaine d'un seul tenant. Donc | U'j — U'^ | jouit de la même propriété. Or U^-, U)- sont, en chaque point ^, des racines de l'équation y (m, ^) = G. On a donc, ou | U^' — U^ | = o si ces racines sont identiques, ou | U'^- — U'^|^v si elles sont différentes.
Ce dernier cas ne peut se présenter, car, | U^ — U^ | étant nul au point z^ et ne pouvant prendre les valeurs intermédiaires entre o et v, l'ensemble de ses valeurs ne serait pas d'un seul tenant.
Cela posé, considérons une fonction U/ égale à U', dans l'intérieur de ^' et sur sa frontière, à \]\ dans l'intérieur de ^" et sur sa frontière. Cette fonction sera évidemment continue dans l'intérieur de ^i*.
En faisant successivement i = i , ..., /i, on aura les n fonctions demandées.
VARIABLES COMPLEXKS. 219
On peut, au moyen de ce lemme, ramener la démonstration du théorème au cas où le contour ^i? est contenu en entier dans un cercle de rayon «< s décrit autour d'un de ses points comme centre, £ étant une quantité que nous pourrons choisir aussi petite que nous voudrons.
On peut, en effet, au moyen de diagonales, décomposer l'intérieur de ^S en une suite de triangles T,, To, . . ., ayant chacun un côté commun avec le suivant. Si le théorème est vrai pour chaque triangle, il le sera pour le quadrilatère formé par Ti et To, puis pour le pentagone formé parT,, T2, T3, et ainsi de suite.
Considérons donc un de ces triangles T. On peut le décomposer par une série de parallèles à la base, distantes les unes
des autres de moins de -? en une série de tranches; il suffira
d'établir le théorème pour chacune d'elles.
Subdivisons enfin la tranche considérée par des perpendiculaires à la base, distantes de moins de -; on la partagera
ainsi en éléments, dont chacun sera un carré de côté - ou une
partie d'un semblable carré; et il suffira d'établir la propriété pour chacun de ces éléments et, a fortiori, de l'établir pour un cercle de rayon s ayant son centre en un point de cet élément, car l'élément tout entier lui sera intérieur.
222. Or on sait, par la démonstration que nous avons donnée pour l'existence des fonctions implicites (193), que, pour tout point ^0 du domaine ^ et pour toute racine u] de l'équation y(w, 5o) = o, on peut déterminer un nombre p/ tel que, dans un cercle de rayon p/ décrit autour de Sq comme centre, il existe une fonction U/ de la variable complexe z^ satisfaisant à l'équation y(//j ^) = o et se réduisante u\ pour
Z=zZq.
On pourra donc déterminer une quantité p telle que, dans un cercle R de rayon p décrit de Zq comme centre, il existe n fonctions U<, . . . , U,i de la variable complexe z^ satisfai-
sant à l'équation y(«, z) = o. Il suffira pour cela de prendre p égal à la plus petite des n quantités p, , . . . , p^.
Il est clair que, si cette propriété appartient à un cercle K, elle appartiendra a fortiori à tout domaine contenu dans ce cercle.
Si donc il existe un point Zq, tel que celte propriété appartienne à tout cercle décrit de ce point comme centre, quel que soit son rayon, on n'aura qu'à prendre ce rayon assez; grand pour en conclure que cette propriété appartient au domaine E, ce qu'il s'agit de démontrer.
Dans le cas contraire, les rayons des cercles décrits autour de :;o et jouissant de la propriété demandée admettront un maximum r fini, mais différent de zéro. Aucun cercle de rayon >> /• ne jouira de la propriété demandée; mais tout cercle de rayon r — X en jouira, quelque petit que soit X.
A chaque point z = x -\- iy de E correspond ainsi un nombre /• unique et déterminé, lequel sera une fonction de
Cette fonction est continue. Soient, en effet, /' et r' ses valeurs pour deux points voisins z et z -\- h. Décrivons de z -j- h comme centre un cercle de rayon r — ). — \h\. Ce cercle sera contenu dans le cercle de rayon /• — X décrit autour de z. On pourra donc y déterminer les n fonctions Ui, . . . , Un', donc son rayon ne pourra surpasser /'', et l'on
aura
et, en faisant tendre À vers zéro,
On trouvera de même
Donc I /•' — r\ sera ^ | A | et tendra vers zéro avec h.
La fonction r étant continue, toujours positive, admet dans E un minimum e qu'elle atteint, et qui sera nécessairement > o. La détermination des fonctions Ui, ..., U/i pourra
dfiUn
dz
donc se faire dans tout cercle de rayon << s, quel que soit le point de E qui sert de centre ; ce que nous voulions démontrer.
On voit, en outre, par cette analyse, que les fonctions U,, ..., U/i sont des fonctions synectiques de z et que leur dérivée en chaque point est donnée par la formule
d\]i dz ~ __^
223. L'une quelconque U/ des n fonctions dont l'existence vient d'être établie est entièrement définie dans E par la connaissance de sa valeur initiale ii\. Proposons-nous de calculer la valeur vi qu'elle prend en un autre point Ç de E, Nous savons déjà que vi est une des n racines de l'équation y(w, Ç) = o; mais il nous faut assigner un caractère qui permette de la distinguer des autres.
A cet effet, traçons dans E une ligne rectifiable quelconque L joignant les points Zq et Ç; soit / la longueur de
cette ligne. En intégrant la dérivée —r^ le long de cette ligne,
ctz
on aura
dz
est au plus égal à m, on en déduit
Si / << — > cette inégalité suffira pour distinguer la racine Vi des autres racines àef{u^ t) = o. Car soit ç^ une de celles-ci, on aura
et par suite
I ^^k- w? 1 1 1 ^k— iV I - I *'/ - "? I > ^ ^-
Si ly — ) on partagera L par des points de division intermédiaires ^,, :;.), ... en arcs dont chacun soit << - — ? et
l'on calculera successivement les valeurs que prend L/ en chacun des points z^^ z.j,^ . . . , Ç.
