III. — Fonctions bornées. Fonctions intégrables
41. Des quantités variables, x^ y, ..., sont dites indépendantes, s'il n'existe entre elles aucun lien, de telle sorte que chacune d'elles puisse encore prendre toutes les valeurs dont elle est susceptible, après qu'on a fixé la valeur des autres.
Soit, au contraire, u une nouvelle variable, liée aux précédentes de telle sorte qu'à chaque point (jc, y, . . .) appartenant à un certain ensemble E corresponde une valeur déterminée de u. On dira que cette relation définit u comme fonction de ;r, jk, ... dans l'ensemble E.
Une fonction de ^, jk, ... peut se représenter par la notation/'(^, y, . . .). Si l'on considère simultanément plusieurs fonctions dilférentes, on pourra les désigner respectivement par F(^, y, . . .), .p(^, y, ...),. .. en changeant la lettre initiale.
La définition qui précède est d'une telle généralité qu'il est évidemment impossible d'établir aucune propriété applicable à toutes les fonctions sans exception. Des hypothèses
restrictives sont, en effet, nécessaires pour servir de base à un raisonnement quelconque.
4î2. Fonctions bornées. — Une fonction /(^, y, . . .) est dite bornée, dans un ensemble E pour lequel elle est définie, si les valeurs qu'elle prend pour les divers points (.r, r, . . .) de cet enseml)le forment un ensemble borné.
La somme, la différence et le produit de deux fonctions bornées f et o sont des fonctions bornées; car on a
|/±:9| = |/|+lo|,
Si f est une fonction bornée et si le minimum |x de son module n^est pas nul, — sera également bornée; car on a
43. Soit y*(:z:, jKi • . .) une fonction bornée dans un domaine E, dont l'étendue, que nous supj)oserons mesurable, sera également représentée par E.
Décomposons E en domaines élémentaires mesurables e,, ^2, •••• Désignons par M, m le maximum et le minimum de la fonction y dans E; par M^, nih son maximum et son minimum dans e^; et formons les sommes
i;t^/n S--ZZL 2^m,,ek.
Comme on a évidemment
m^m/,.^M/,. "^ M, S et 5 seront comprises entre
et
N meii =; m \ e/,. = m E,
et leurs modLiles seront au plus égaux à LE, L désignant le plus grand des deux modules | M | et \m\ [ou le maximum du module de /(^, y^ • . .) dans le domaine E].
44. Théorème de M. Darboux. — Si nous faisons varier la décomposition en éléments, de telle sorte que les diamètres de ces éléments tendent vers zéro, les sommes S et s tendront vers des limites fixes.
En effet, considérons, par exemple, les diverses sommes S. Leurs valeurs forment, comme nous venons de le voir, un ensemble borné, lequel admet un minimum T. Et l'on peut, quel que soit £, déterminer une décomposition A', telle que
la somme correspondante S' soit comprise entre T et T H — •
Soient ^1, . . ., e^i les éléments de cette décomposition, /ileur nombre ; on aura
Soit A une autre décomposition quelconque. Nous y distinguerons plusieurs sortes d'éléments : i° ceux qui sont intérieurs à l'un des éléments e^, . .., e„, par exemple à ek\ nous les désignerons par e^i, . . ., eki-, ... ; 2^ ceux qui empiètent sur plusieurs des éléments e^^ , . ., <?« ; nous les désignerons par e\^ ..., e], .... Nous représenterons enfin par M/ii^ M'f les maxima de / dans les éléments e^/, e'i . On aura évidemment
\ et enfin, si S désigne la somme correspondante à la décom- J. — I. 3
position considérée,
Enfin, T étant le minimum des sommes S, on aura
De ces deux inégalités résulte immédiatement la preuve que, si le diamètre des éléments tend vers zéro, S tend vers T. En effet, les domaines ^i, ..., 6,^ étant mesurables,
la différence entre e^ et la somme ^^fki des nouveaux éléments qui lui sont intérieurs tendra vers zéro avec le diamètre de ces éléments. On pourra donc, après avoir choisi £ aussi petit qu'on voudra, ce qui fixera le nombre /i, assigner un nombre o, tel que si tous les éléments ont un diamètre
<< 0 chacune des n sommes <?a — ^^a/ devienne moindre
Que -T-. -• Dès lors, S sera compris entre T et T -f- £.
Ce nombre T se nomme V intégrale par excès de la fonction /(^, JKj • • •) dans le champ E.
45. On voit exactement de la même manière que les sommes s admettent un maximum t et que, si l'on fait varier la décomposition de telle sorte que le diamètre ma^timum
des éléments tende vers zéro, la somme tendra vers t. Ce nombre sera Vintégrale par défaut de la fonction / dans le domaine E.
4-6. Remarques. — i° Si E est formé par la réunion de plusieurs domaines mesurables E,, Eo, . . ., on pourra décomposer ceux-ci en éléments infiniment petits e^^ e-^-, ..., et
former pour chacun d'eux la somme N^Myfe^- La somme
correspondante pour le domaine E s'obtiendra par l'addition de ces sommes partielles. Passant à la limite, on voit que l'intégrale par excès de la fonction /, pour le domaine E, est égale à la somme des intégrales analogues pour Ej, E2, ... De même pour l'intégrale par défaut.
1^ Nous savons qu'on peut déterminer une suite de domaines mesurables Ei, ..., E„, ..., dont chacun soit intérieur au suivant et à E, et tels que leurs étendues aient pour limite E. L'intégrale (soit par excès, soit par défaut) dans le domaine E sera la limite vers laquelle tend, pour n = 00, l'intégrale dans le domaine E«. En effet, la différence des deux intégrales est égale à l'intégrale prise dans le domaine E — E,^, et son module sera au plus égal à L(E — E;^), quantité qui tend vers zéro quand n tend vers 00.
3" Nous avons admis, dans tout ce qui précède, que le domaine E a une étendue mesurable. Une nouvelle définition nous permettra de supprimer cette restriction. On peut, en effet, toujours considérer E comme la limite d'une suite de domaines mesurables Ei, ..., E,,, ..., dont les étendues convergent vers une limite qui, par définition, n'est autre que l'étendue intérieure de E. L'intégrale (par excès ou par défaut) dans E,^ tendra, pour n = 00, vers une limite déterminée. En effet, la différence entre les intégrales dans E,f et E„i(^m > /i) aura son module au plus égal à
L(E,„-E„)^L(E-E„), lantité qui tend vers z;éro quand n croît jndéfinimefttt Nous
considérerons cette limite de l'intégrale dans E^ comme représentant la valeur de l'intégrale dans E.
47. Nous appellerons oscillation de la fonction f dans l'élément eh la différence Oa= Ma — //^A entre son maximum et son minimum. Cette différence ne pouvant être négative, la différence
T — ^ = lim ^M^-eA — lim ^rn^eA = lim 2 Oy^eA-
entre les deux intégrales par excès et par défaut ne pourra
être négative. Cherchons à quelles conditions elle sera nulle.
Remarquons, à cet effet, que, T étant le minimum des
sommes ^J^h^k et t le maximum des sommes \ wa^a,
T — t sera le minimum des sommes /^Ok^k-
Cela posé, soit s un nombre positif choisi à volonté et considérons une décomposition quelconque de E en éléments e,, .... ^A, Soient (?/, . . . ceux de ces éléments dans lesquels l'oscillation 0/ surpasse e ; Ci^ ... les autres éléments où l'oscillation O^^s. On aura
Mais, d'autre part, 0/= M/ — mi ne peut surpasser M — îh et 0/^£ ; donc
^OA.eA-5 (M — m )^ e,H- £ 2 et (2)
Si donc il est possible de déterminer s de telle sorte que pour aucune décomposition > ei ne s'abaisse au-dessous
d'un nombre positif fixe À, la somme ^Oa^/c sera toujours supérieure à eA; et son minimum T — ^ ne pourra être
VARFABLES RÉELLES. 87
moindre que sX. Au contraire, si, quel que soit s, on peut
trouver une décomposition où ^.^i soit moindre que tout
nombre positif donné, on pourra, en prenants assez petit, puis choisissant une décomposition convenable, faire décroître autant qu'on voudra les deux termes du second membre
de (2) et rendre ainsi ^Oa^a moindre que tout nombre positif donné. On aura donc
48. Fonctions intégrables. — Une fonction fi^x^y^ . . .) est dite intégvable dans le domaine E, si ses deux intégrales par excès et par défaut
T^lim^MAr^^t, t~Y\m^^mkeu,
prises dans ce domaine, coïncident, ainsi qu'il vient d'être expliqué. Soit, dans ce cas, (^AiJ'a,---) un point choisi arbitrairement dans l'élément ek\ on aura évidemment
d'où
La somme ^ /(•2:^/c, JKa, • • •)^/f tendra donc encore vers la
même limite que les deux sommes précédentes. Cette limite se nomme X intégrale de la fonction /"dans le domaine E. On la représente généralement par la notation
^ est un signe de sommation, qui signifie limite de somme;
de représente l'un des éléments infiniment petits ci-dessus désignés par e^, ..., en-, ...; il est sous-entendu que dans
38 PREMIÈRE PARTIK. — CHAPITRE I.
chaque terme de la somme on doit substituer dans f aux variables x^ y^ ... leurs valeurs en un point de l'élément de que l'on considère; enfin la lettre E, mise en indice, dénote le champ de l'intégration ; on peut d'ailleurs la supprimer lorsqu'il n'j a pas d'ambiguïté à craindre.
49. Il est clair que la valeur de l'intégrale I ne dépend pas des variables de sommation x^ r, . . ., mais seulement de la nature du champ et de celle de la fonction f. Elle sera d'ailleurs comprise, d'après ce que nous avons vu, entre ME et mE, et son module ne pourra surpasser LE.
Ces derniers résultats sont susceptibles d'être un peu généralisés. Supposons que /soit le produit de deux fonctions cd, h dont la première soit intégrable et reste positive dans le champ E. Soient M', w! le maximum et le minimum de ^ dans ce domaine; on aura
M' ^ 9 (j:- /,,//„ ...)6^^=^9(-^/o7/.- ...)4^(^7,//.-, ...)^/t et, en passant à la limite,
et, par suite,
j^9(j7, V, ...)'X(.2-,/, ...)de — \L^r^{x,y,...)de,
|JL étant une quantité comprise entre M' et /;«'.
Cette proposition porte le nom de théorème de la moyenne.
50. Si le champ E est formé par la réunion de plusieurs domaines mesurables E,, Ej, ..., l'intégrale E sera évidem-
ment égale à la somme des intégrales relatives à ces champs partiels.
Si E n'est pas mesurable, nous le considérerons, ainsi qu'au n*" 46, comme limite d'une suite de domaines mesurables E,, ..., E„, .... La limite des valeurs des intégrales prises dans ces domaines sera, par définition, la valeur de l'intégrale dans E.
51. Soient f^ /", ... des fonctions intégrables dans un domaine E; T, F, ... leurs intégrales; c', d' ^ ... des constantes.
La fonction
sera intégrable et aura pour intégrale l = c'V-\-c"V-\-....
11 suffit, pour le voir, de passer à la limite dans l'identité
-^c"^f"{^k,yk, •..)ek-^...:
52. Le produit f f de deux fonctions intégrables est intégrable. En effet, soient M', m' et M'^, m" les maxima et minima de /' et f" dans E; MJ^, mj^, et MJ^ , m\ leurs maxima et minima dans Cr] O', O'', OJ^, O^ leurs oscillations dans les mêmes domaines.
Supposons d'abord que m' et m!' soient positifs; m'j^^ M'^, MJ. , M'^ l'étant a fortiori, on aura, dans tout l'élément e/f,
L'oscillation O/t du produit f'f" dans cet élément est donc au plus égale à
Mit Ml- — m', m\ ■=M'„{ M'^ - ni]^ ) + ni'^ ( M',, -tu,,)
4o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE i.
et, par suite,
Supposons, au contraire, que m', m'' puissent être négatifs. Soit c une constante positive, plus grande que | m' | et | nil' |. Les fonctions f'[x^y^ . . .) -\- c et f i^x^y^ . . .) H- c seront intégrables et auront pour minima les quantités positives w! -\- c^ m!' -\- c. Leur produit sera donc intégrable. D'ailleurs cf'{x^y^ ...), cf"{x^y^ . . .) le sont également, ainsi que la constante c- dont l'oscillation est toujours nulle. Donc, le produit
/'/"= (/'+ O (f+o) - cf- c/"- c'-
sera aussi intégrable.
53. Si la fonction f est intégrable et si son maximum M et son minimum m sont de même signe^ - sera intégrable.
En effet, l'oscillation 0^ de — dans l'élément eu sera
ml "~ MI
Ma— /«A
Donc
M A m A lim ^ l^A^A ^ — j lim 2 Oa e,, — o
