Soit maintenant

une ligne continue quelconque L ne passant par aucun point critique, et soient Zq = Xq-\- iyo, Ç = ^ -f- «rj les extrémités de cette ligne, ^o et t les valeurs correspondantes de t. On pourra déterminer pour chaque valeur de l'indice i, et d'une seule manière, une fonction continue Ui de la variable ^, satisfaisant tout le long de L à l'équation

et se réduisant à u^ pour t ^ Iq.

En effet, supposons d'abord que L soit contenu en entier dans le domaine E formé par les points non extérieurs à un contour G fermé, continu, sans point multiple et laissant à son extérieur tous les points critiques. On peut déterminer dans ce domaine, comme on l'a vu, une fonction U/, continue par rapport à x^ y, satisfaisant à l'équation /(«, ^) = o et se réduisant à u^ pour z = Zq. Le long de la ligne L, ^, y sont des fonctions continues de t. Les valeurs successives de L'^le long de cette ligne fourniront donc une fonction Ui de la variable t satisfaisant à l'énoncé.

Cette fonction est unique. En effet, s'il existait une autre fonction Çi de même nature, \ ui — wi\ serait une fonction continue de t. Les valeurs de t comprises entre ^o et t formant un ensemble d'un seul tenant, il en est de même des valeurs correspondantes de | ui — Çi\. D'ailleurs, «^ et (^^ étant des racines de l'équation /(w, ^) = o, | Ui — Çi\ sera nul ou^v suivant que ces racines seront identiques ou non (219). Enfin, cette expression est nulle pour z = Zq', donc elle

devra l'être tout ]e long de L, pour que l'ensemble de ses valeurs soit d'un seul tenant.

Remarquons d'ailleurs que la valeur finale de w/au point t^ ne sera autre chose que la valeur que prend en ce point la fonction U^ . Cette valeur finale resterait donc la même si l'on remplaçait la ligne L par toute autre ligne continue U ayant les mêmes extrémités, et également contenue dans E.

Supposons au contraire qu'il n'existe aucun contour de l'espèce G dans l'intéuieur duquel la ligne L soit contenue tout entière. On pourra lout au moins décomposer cette ligne en arcs partiels dont chacun soit renfermé dans un semblable contour.

Soient en effet t! ^ t" deux des valeurs de t] z' ^ z" les valeurs correspondantes de z. On s?it qu'on peut, quelle que soit la qu^mtité £, déterminer une autre quantité o telle que l'on ait toujours

|:;"-^'|<£, si \t"-t'\<à.

Prenons pour £ une quantité moindre que la plus courte distance de L au point critique le plus voisin. Si nous subdivisons l'intervalle Iq'z par des points intercalaires Z^, tof ... en intervalles t^t.^. . . ., thth^^^ . . . d'étendue <C 5, tous les points de l'arc ZkZ^^^^ par exemple, auront des distances mutuelles << £. Ils seront donc contenus en entier dans un cercle C/f de rayon £ décrit autour de l'un d'eux, lequel cercle laissera à son extérieur tous les points critiques.

Gela posé, il existe le long de l'arc IqÙ^ une fonction continue de t satisfaisant 'd/(u^ z) = o et prenant pour t = tolâ valeur initiale wj* ; on pourra déterminer sa valeur finale iij pour t =^ ti. Il existe de même le long de ^, t.2 une fonction analogue ayant pour t = tt la valeur initiale wj ; et l'on pourra déterminer sa valeur finale uj pour t=z to- Continuant ainsi et réunissant ces fonctions successivement obtenues, on constituera une fonction Ui définie tout le long de L; sa valeur finale Vi sera une racine déterminée de l'équation /(m, Ç)=:o.

On voit par celte analyse que, lorsque z décrit la ligne L, les racines de réqualion/( w, z) =. o varient chacune d'une manière continue, et passent des valeurs initiales u\^ . . ., m" aux valeurs finales (^, , . . . , Vp.

Il est clair que si z décrivait L en sens contraire, de Ç à Zq^ ces racines repasseraient chacune par la même série de valeurs et reviendraient respectivement de c^, ..., v„ à

225. Supposons que ^, au lieu de décrire la ligne L, suive une autre ligne L', joignant également Zq à Ç. Les racines de l'équation f{u^ z) = o, variant d'une manière continue, passeront des valeurs initiales m", ..., //" à des valeurs finales v\^ ..., v[^. Ces nouvelles valeurs seront, comme r<, ..., ç,ij les racines de l'équation /(«, Ç) ^ o. Elles seront donc identiques à ces dernières, à L'ordre près. Si cet ordre est le même, nous dirons que les deux chemins L et \J sont équivalents; mais on conçoit que cet ordre puisse au contraire être changé, et nous verrons plus tard qu'en prenant pour valeur initiale une racine donnée ii\ de/(«, ^,)) = o, et choisissant convenablement^ la ligne L', on peut ol)tenir comme valeur finale l'une quelconque des racines de

226. On peut, comme on va le voir, réduire un chemin quelconque allant de -îq à s à un chemin tjpe qui lui soit équivalent.

Désignons par L un chemin fixe choisi à volonté de ^^ à Ç; par L~^ le même chemin décrit en sens contraire de X^ à ^o; un autre chemin quelconque \J allant de ^o à Ç sera équivalent au chemin UL^'L.

En effet, lorsque z parcourt L', ui passera de la valeur initiale u\ à une valeur finale r; lorsque z parcourt ensuite L~', Ui passera de la valeur v à une valeur u^ \ il repassera de ;/" à V lorsque z parcourra L. La valeur finale sera donc la même que si l'on s'était borné à faire le premier trajet L'.

Or UL~* est un contour fermé ramenant z à sa A^aleur initiale ^0*

Donc tout chemin tracé de Zq à'Q écjuivaiU à un contour fermé L'L^' = G suivi du chemin L. 11 ne nous reste donc qu'à étudier la réduction des contours fermés.

227. A cet effet, traçons, à partir de chacun des points critiques a, a,, . . ., une ligne continue, sans points multiples, s'étendant jusqu'à l'infini. Nous donnerons à ces lignes a(3,a,j3i, ... le nom de coupures. ^oyxsXes supposons menées de manière à ne pas se rencontrer; à cela près, leur tracé est arbitraire.

11 est permis d'admettre que le contour G à étiidier ne rencontre ces coupures qu'en un nombre limité de points. En effet, on peut, si cela est utile, choisir pour coupures des lignes droites. D'autre part, si nous décomposons, comme au n" 224, la ligne G en arcs ZqZ^^ . . ., z^zj^^^^ . . . assez petits pour que chacun d'eux, tel que z^z^^i^ soit contenu dans un cercle G;^ ne contenant aucun point critique, les valeurs de ui aux points successifs Zo, Zi^ ... et enfin sa valeur finale seront évidemment les mêmes, qu'on suive la courbe G ou le polygone inscrit P = ^o^i . . •• Ge contour polygonal est donc équivalent à G et peut lui être substitué au besoin. Or ce nouveau contour ne peut rencontrer les coupures qu'en un nombre limité de points.

228. Gela posé, si G ne traverse aucune coupure, on pourra (Jig. 4) l'envelopper par un contour fermé G sans point multiple dont la distance à G soit partout moindre que celle de G à la coupure la plus voisine, et ce contour G ne contiendra évidemment aucun point critique. Soit U/ la fonction de z déterminée dans G par l'équation /{u^ z) = o et la valeur initiale u*^ pour z = Zo', ui étant égal tout le long de G à U/, qui n'a qu'une valeur en chaque point de l'intérieur de G, reviendra à sa valeur initiale en même temps que z. Le contour G est donc équivalent à zéro.

Si C traverse m fois les coupures, il équivaut à m contours successifs, dont chacun les traverse une fois seulement. En

effet, soient/) {fig- 5) le premier point d'intersection qu'on rencontre en suivant le contour G; /?' le second; q un point

Fig. 5.

de G intermédiaire entre p et p' . Joignons ^ à ^o par une ligne qui ne traverse aucune coupure. Le contour

Ç, — Zç,pqp'zç,

équivaut évidemment au suivant,

z^pq.qz^q.qp' z^, lequel se compose :

1^ Du contour fermé G, = ^opq Zq qui ne traverse les coupures qu'au seul point/?;

2° Du contour fermé C'= ZQqp' Zq, qui ne les traverse que m — i fois.

Si /?i > 2, on appliquera à G une décomposition analogue et l'on arrivera enfin à montrer que C est équivalent à Ci C2 . . . Cm, les contours C, , . . . , C,n ne traversant chacun les coupures qu'en un seul point.

229. Considérons un de ces derniers contours C,, traversant en un point p la coupure aji correspondant au point critique a. Traçons autour du point a un cercle d'un rayon arbitraire assez petit pour laisser à son extérieur tous les autres points critiques.

Joignons ce cercle au point Zq par une ligne déterminée c/Zq

qui ne traverse aucune coupure, mais qui peut être choisie, d'ailleurs, arbitrairement.

Supposons le contour C, décrit dans le sens de la flèche. La portion Zq^p de ce contour est évidemment équivalente à z^qnmp^ car on peut envelopper le système de ces deux lignes par un contour ne contenant aucun point critique. Par la même raison, p Ssq est équivalent à/>m Iqz^. Donc, le contour total G, équivaut au contour z^qnnipinlqzQ ou, en

supprimant dans ce dernier la ligne mp^ décrite deux fois de suite en sens contraire, au contour z^qnmlqz^.

Ce dernier contour, formé de la ligne z^ q^ du cercle qnmlq et de la ligne de retour qzQ^ est entièrement déterminé. Nous l'appellerons le contour élémentaire (ou le lacet) correspondant au point critique a.

Si le contour G| était décrit dans un sens contraire à celui que nous avons supposé, il serait équivalent au même lacet, décrit en sens inverse.

Nous avons donc ce théorème :

Soit L une ligne déterminée joignant Sq à Ç; soient d^ autre part F, F,, ... les lacets correspondant aux divers points critiques a, a,, ..., ces lacets étant décrits dans le sens direct, c^ est-à-dire de manière que dans le mouvement on laisse à sa gauche V intérieur du petit cercle ; F~*, F~', ... les mêmes lacets, décrits dans le sens rétrograde. Tout chemin U , joignant Zq à Ç, sera équivalent à une combinaison des lacets F, F,, ..., F~*, Fy^, ... suivie du chemin L.

230. Lorsque ^, partant de la valeur initiale ôq, parcourt un lacet F (ou tout autre contour équivalent), la fonction «/, qui correspond à la valeur initiale wj, prendra une suite de valeurs que nous pouvons calculer de proche en proche ; nous trouverons comme valeur finale une quantité wj, qui sera, comme la valeur initiale «y, une racine de l'équation f{u^ Zq) = o. En faisant un calcul analogue pour chacune des racines w^ prise comme valeur initiale, on retrouvera, comme valeurs finales, la même série de quantités, dans le même ordre ou dans un ordre dilTérent.

Le même contour, décrit dans le sens rétrograde, conduira réciproquement de la valeur initiale wj à la valeur finale ;/".

Supposons qu'on ait fait tous les calculs nécessaires pour établir la correspondance entre les valeurs initiales et les valeurs finales des ui pour chaque valeur de i et pour chacun des lacets F, F,, ....

Supposons qu'on ait fait également les calculs nécessaires pour déterminer la valeur finale vt que chaque fonction ui prend au point Ç lorsque z parcourt la ligne L.

On pourra dès lors, sans nouveau calcul, déterminer la valeur finale de ui^ lorsqu'on se rend de Sq à Ç suivant une ligne quelconque U . En eflet^ on voit immédiatement, à la seule inspection de la figure, quelle est la combinaison de lacets qui, suivie du chemin L, équivaut à L'.

Supposons, par exemple, que L' soit équivalent à rFjL.

On sait, par les calculs précédents, que, lorsque z parcourt r, la fonction à étudier passe de la valeur initiale u] à une valeur finale connue ul. On sait de même que, lorsque z parcourt ensuite F,, la fonction définie par la valeur initiale u\ acquiert une valeur finale connue lâ, . Enfin, lorsque z parcourra L, la fonction passera de la valeur initiale «" à la valeur finale vi.

231. Désignons par E l'ensemble de tous les points du plan à l'exclusion des coupures. Soient z^ un point fixe et Ç un autre point quelconque, tous deux situés dans ce domaine. Lorsque z se rend de ^o à ^ sans sortir de ce domaine, celle des racines de l'équation f{u^ 5) = o, dont la valeur initiale était u]^ prendra en 'Ç une valeur finale p/, racine de l'équation /(w, V) = o, et indépendante du chemin suivi par z, 11 résulte d'ailleurs de l'analyse précédente que vi est une fonction synectique de Ç. On voit donc qu'il existe, dans le domaine E, n fonctions synectiques Uj, ..., U„ de z^ satisfaisant à l'équation f{u^ z) = o et caractérisées chacune par la valeur qu'elle prend pour z = Zq.

Mais ces fonctions, nettement séparées dans le domaine E, cessent de l'être si z devient libre de traverser les coupures (sans toutefois passer par les points critiques). Supposons, en effet, qu'en décrivant le contour élémentaire correspondant à la coupure a[^, par exemple, u passe de la valeur initiale ii'^ à la valeur finale wj.. Si z se rend de ^0 à Ç par un chemin qui traverse la coupure aj3, u passera de la

23o PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE II.

valeur initiale «J à une valeur finale qui ne sera plus Çiy mais i'/f.

Si donc ^ n'est assujetti dans sa variation à aucune restriction (sauf celle de ne pas passer par les points critiques), nous devrons considérer les fonctions Uj, ..., l],i comme appartenant à un même système analytique, que nous appellerons la fonction algébrique u définie par l'équation y(w, ^) = o; à chaque valeur de z correspondront n valeurs différentes de u.

Nous dirons que Li, . . ., L,; sont les brandies ou les déterminations de cette fonction dans le domaine de E.

Cette répartition des valeurs de la fonction algébrique u sur des branches distinctes Uj, ..., U„ sjnectiques dans le domaine E a l'avantage de permettre l'application des théorèmes établis précédemment pour les fonctions synectiques. Mais cette distinction est artificielle; car elle dépend du tracé des coupures, qui est arbitraire.