V. — Transcendantes élémentaires

232. Les transcendantes les plus simples sont celles auxquelles on se trouve conduit en cherchant à intégrer les fractions rationnelles.

Une semblable fraction est une somme de termes entiers

tels i\wç, Kz^^ et de fractions simples telles que — •

Or A^'" est la dérivée de — ^^ . La forme générale de ses

intégrales sera donc

h const.

C'est un polynôme entier.

D'autre part, si aï >> i , ^ est évidemment la dérivée

de — ; — -: et la forme générale de ses intée^rales

(I — n){z — ay^-^ ^ ^

sera

; r -h COnSl.,

expression rationnelle.

Il reste à trouver les fonctions primitives des fractions

simples de la forme

233. Logarithme. — Supposons qu'on ait trouvé une fonction primitive f{z) de la fonction -• Les fonctions pri-

mitives de seront évidemment

Af{z — a) -+- const.

On n'a donc qu'à chercher une fonction f{z) ayant pour

dérivée - et satisfaisant par suite à l'équation

La fonction - étant sjnectique dans tout le plan, à l'exception du point critique ^ = o, nous savons d'avance (202) que, dans l'intérieur de tout contour fermé G qui n'enveloppe pas ce point, on pourra déterminer des fonctions synectiques/" satisfaisant à cette équation.

Pour obtenir l'expression de ces fonctions, désignons par p le module de z, par es l'un de ses arguments, de telle sorte

qu'on ait

z := p (coscp -h / sincp).

Changeant p et cp en p + dp, cp + d'j>, il viendra

dz =: dp (ces© -+- i sincp) -+- p dcD ( — sincp -4- t coscp), d'où

d/=^ — = — ^ -\- i dcD =z d Logo -{- l do

et par suite

/= Logp-h f 9 4- const.

Supposons la constante nulle; nous aurons

(0 /=LogpH-icp.

r.a quantité z a une infinité d'arguments ; cp' désignant l'un d'eux, leur formule générale sera

k étant un entier positif ou négatif.

L'expression Logp + ^cp, trouvée ci-dessus, admet donc pour chaque valeur de z une infinité de valeurs

Logo -\- f (?'h- 2/1-71).

On les nomme les logarithmes de z^ et on les représente par log^.

En donnant successivement à cp les diverses valeurs dont il est susceptible, on obtiendra une infinité de fonctions distinctes

/o=Logp-+-«9',

/a.= Logo + «(9'+ 2Â-7:),

dont chacune sera sjnectique à l'intérieur de C.

Cela posé, par le point critique ^ = o, traçons une coupure arbitraire (par exemple, une demi-droite faisant un angle donné ). avec l'axe des x\ et considérons le domaine formé par tous les points du plan, à l'exclusion de cette coupure.

Soit z un point de ce domaine, et prenons pour cp' celui de ses arguments qui est compris entre X et À — iiz. Il est clair que p et cp' sont entièrement déterminés en chaque point z.

Chacune des fonctions fk a donc une valeur unique et déterminée pour chaque valeur de z\ elle a d'ailleurs pour

dérivée -5 qui est continue; elle est donc sjnectique.

Mais il en est autrement si l'on cesse d'astreindre z à ne pas traverser la coupure. Supposons, en effet, que z décrive dans le sens direct un contour fermé sans point multiple

entourant le point critique ^ = o. Lorsqu'il reviendra à sa valeur initiale So, son argument se sera accru de 2tu et, au lieu de la valeur initiale

/^.H-i== Logpo-H f [cp'o + 2( A^ -+- i)7r].

Donc/o, ...,/a, ... considérées dans tout le plan (à l'exclusion du point critique :; = o) ne sont pas des fonctions distinctes, mais des branches d'une même fonction, qu'on représente par log^.

Ces branches se permutent circulairement par une rotation autour du point z = o.