Soient

z = p(cos9 -f- f sino)), z^z= pi(coscpi H- « sincp,),

d'où

\ogz = Logp -\- io, log5i = Logp,H- icDi.

On en déduit

log^ + logsi = Logp -I- Logpi -f- i{(û + 9i) = Logppi -i- ^(9 4- 91)-

Or ^p^ est le module, et cp H- cp, l'un des arguments de zzt. Donc le second membre de cette équation est l'un des logarithmes de zZf. Les autres ne diflerent de celui-là que de multiples entiers de 'âtzL On aura donc

{2) legs 4- log-3i= log^:;i+ 2A-7rf,

l'entier A" dépendant du logarithme choisi.

23o. Exponentielle. — Nous désignerons par e^ la fonction inverse de log^, définie par l'équation

logw=:^.

Soit z = a; -\- iy, m = p(coscp + / sincp). On aura, pour

déterminer p et cp, les équations

Logp = a?, 7 = 9.

La première équation donne p = e-^, e^ désignant la fonction de X inverse de Log^, et définie au n*^ 116. On aura, par suite,

(3) e^nr w = e^ (cosj' -r i'sinj)/').

Cette fonction est synectique dans tout le plan. Elle prend toutes les valeurs possibles, zéro excepté. Quand x tend vers — 00, elle tend verso. Quand x tend vers +00, elle tend vers 00, mais de telle sorte que son argument y reste indéterminé. Enfin, si x restant fini y tend vers 00, elle ne tend nécessairement vers aucune limite déterminée.

Elle a d'ailleurs pour dérivée

(logw)

donc

Soient

ly, ^i — ^i-^ lyx

on aura

(5) e-e=^>=r e^+-^i[cos(/ + Ji) -+- « sin(/ -H/i)] = ^' Remarquons enfin qu'on a

j <?2î^îr=:cos2 7r + i sin27r = I,

( 7 ) f;Z+kTZi — qZ ^ICKi — ^ J )A- çZ^

Donc e^ ne change pas quand on accroît z d'un multiple de 2 7ti; on énonce cette propriété en disant que la fonction Qsl périodique et que sa période est iTzi.

236. Puissances. — INous définirons l'expression z'"-^ z et m désignant deux nombres complexes quelconques, dont le

premier n'est pas nul, par l'équation

Soient m = y.+ ^l, z = pfcoscp -h /sincp); il viendra

5'"= e^^+.S') [Logp-i-/(Ç+2/tU)]

- ^aLogp— P(?+2A-7l)+i[PLogp+a(ç+2/iU)]^

Le module M et l'argument <I> de z^"- seront donc donnés par les formules

(8) ]y[ gaLogp-P(cp+2/t7r)^

(g) <ï> = jSLogp -h a(cp + 2A-7r) + 2A-'7r.

Si p n'est pas nul, à chaque valeur de k correspondra une valeur différente de M, et z"^ aura une infinité de valeurs distinctes.

Si j^ = o, M n'a plus qu'une seule valeur; toutefois, si a est irrationnel, aux diverses valeurs de k correspondront autant de valeurs de ^, ne différant pas les unes des autres de multiples de 2tc, et fournissant par suite autant de valeurs distinctes pour z'"^.

Si, au contraire, a est un nombre rationnel — > deux va-

leurs de k qui diffèrent de multiples de q donneront la même

valeur pour ^"^ Cette expression n'aura donc que q valeurs

distinctes, correspondant à A" = o, i , . . ., q — i .

Dans ce cas, l'expression 3"*= u sera racine de l'équation

algébrique

U.1 — zP ;

car, en élevant les deux membres de l'équation

-log-

à la puissance q^ il viendra

Or, si p est positif, le second membre de cette équation est

le produit de p facteurs égaux à e'"^^ ou à ^ ; si p est un

nombre négatif — p\ ce sera le produit de />' facteurs égaux

Lorsque m est réel et z positif, l'un des logarithmes de :;, Log5, est réel, et l'une des valeurs de z'", e'"Log:;^ ^^^ réelle.