On a, p étant le module et C5 l'un des arguments de
log z =z Logp H- / cp -f- 2 A" 71 f
et, par suite,
i" Soit z' une autre quantité ayant le module p' et un argument o' ', on aura de même
rr' m —— o'inikl'Ki gW(Log p/-i-/op')
d'où
K. étant un entier, égal à A + k' — k" . 1^ On aura, d'autre part,
^m' -- gim' kfTZi ^mf (Log Çi+i:p)
d'où
3^ Enfin z"^ aura, pour l'un de ses logarithmes,
2 mk TT « 4- m{ Log g -h io).
Donc
D'ailleurs,
Donc, enfin,
^ni/nf — — pimm'kif'Ki ^m/n' (Log p-f-iç)
/n \/n' — fr/iim' p[(k kl''jm-\-kl]2m''Ki
t238. Supposons z variable; l'expression
sera une fonction de fonction de z qu'il est aisé d'étudier.
Traçons, à partir de l'origine des coordonnées, une coupure rectiligne, faisant l'angle A avec l'axe des x. Dans tout le reste du plan, les diverses valeurs de log^ peuvent être réparties en branches sjnectiques : w, étant déterminé sans ambiguïté en fonction de log5, jouira de la même propriété. Si l'on adopte, pour cp, celui des arguments de z qui est > X, mais << 2 7r4-À, ces diverses branches correspondront aux diverses valeurs qu'on peut donner à l'entier k dans la formule (lo).
Il est aisé de voir comment ces diverses branches se permutent entre elles lorsque z décrit, un contour fermé entourant le point critique o. Supposant ce contour suivi dans le sens direct, le module de z reviendra à sa valeur initiale ; mais son argument se sera accru de air. On aura donc passé de la valeur initiale
à la valeur finale
239. La dérivée de z'" se trouvera en dérivant l'équation qui définit cette fonction. On trouve ainsi
Mais
i 1 — p— logs .
donc
Cette expression peut s'écrire >
(i4) . {z"^)'=:mz"'-'y o
à la condition d'adopter, pour le calcul de ^3'"', la même valeur de log^ que pour celui de z"*^.
240. Cherchons enfin si z"^ tend vers une limite lorsque 5 tend vers zéro ou vers oo.
Posons
^ = p(cos(p 4- « sincp), wr=ra-|"[3f;
le module M et l'argument <I> de g'" seront donnés par les formules (8) et (9).
Si |3 n'est pas nul, il est clair que, de quelque manière que 0 varie, on peut faire varier simultanément o de telle sorte que M prenne une suite de valeurs entièrement arbitraire ; donc z"^ ne tendra vers aucune limite déterminée.
Supposons, au contraire, que |j soit nul, ou que cp soit astreint à rester compris entre deux nombres fixes.
Soit d'abord a >> o. Si z (et, par suite, p) tend vers zéro, Logp tendra vers — oc, M (et, par suite, z"'-) vers zéro. Si z tend vers oc, Logp et M tendront vers +00; z"^ tendra donc vers 00, mais sans que son argument <I> tende nécessairement vers une limite.
Si a <; o, le contraire aura lieu. Lorsque z tendra vers o, z^^ tendra vers 00, sans que son argument tende nécessairement vers une limite ; mais, si z tend vers 00, z"^ tendra vers zéro.
Enfin, si a est nul ainsi que j^, on aura constamment
M = i, 0 = 2A7r, d'où z'^^i,
241. Fonctions trigonométriques. — Si, dans l'équation (3), qui définit e^, nous posons ^ = o, il viendra
(i5) e^y =2 cos y -^ i ûï\ y ^
et, en changeant le signe de y,
(16) e~"'^=:cosjK — is'iny
On en déduit
(17) cosy=: , siny = —.
Ces formules, établies dans le cas où y est réel, pourront servir de définition à cosy et sinj^, lorsque cette variable est complexe.
Quant à tangj^ et coiy, elles continuent à être définies par les formules
/ ox sin r I
(18) lan2:r = ^ = •
cosy coij
Ces fonctions n'ont qu'une seule valeur pour chaque valeur de la variable. Les deux premières seront sjnectiques dans tout le plan; mais tangj* et coly deviendront respectivement infinies pour les valeurs de y qui annulent cosj^ ou sinjK.
Toutes les formules de la Trigonométrie subsistent pour les valeurs complexes de la variable, car elles se déduisent des suivantes :
sin(o) = o, cos(o) = i,
