TT
sin — -^ I , cos — = o,
sin( — a) ■:= — sina, cos( — a) ^= cosa^
sin(« -h 6) == sin« cos^ -h cos a sine,
cos((2 -+- b) z— cosa cosb — sina sinb,
dont on peut vérifier immédiatement l'exactitude en substituant aux lignes trigonométriques leurs expressions en exponentielles.
On vérifie de même les formules
(sin^)'= cos^, (cos5)':r=: — sin^,
d'où
24o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
242. On a, d'après les formules d'addition, sin(^ -+- iy) = sin^cosf r -h cos^ ?,\niy
e-y-^ey . ey—e-y
= sin^ h i 0,0% X j
cos(^ H- f'y) :r= cos^r cos iy — sin^ sin^jK
e-y^ey . . ey—e-y
= cos^- i %\nx •
Ces expressions ne peuvent s'annuler que si leur partie
réelle et leur partie imaginaire s'annulent séparément. D'ail-
, e-y ^ ey . . .,. i-^, , ,
leurs est toujours positif et dînèrent de zéro ; en
outre, sin^r et cos.r ne peuvent s'annuler à la fois ; donc sin(;r + iy) ne s'annule que si l'on a
ey—e-y sinjc=:o, =^^1
d'où
et cos(:r + iy) ne s'annulera que si l'on a
ey—e-y
cos^ = o, = o,
d'où
, ey^e-y j ey—e-y
bi y tend vers oo, tendra vers + oo, et
vers -h 00 ou vers — oo, suivant que y sera positif ou négatif. Donc sin(^ -h iy) etcos(x -h iy) tendront vers oo; mais leur argument dépend de x et ne tendra pas nécessairement vers une limite.
Si jKi'estantfini, x tend vers oo, sin(^ + iy) etcos(^ + iy) resteront, au contraire, finis, sans tendre nécessairement vers une limite.
243. Tout produit de sinus et de cosinus peut être transformé en une somme de sinus et cosinus. Il suffit, pour cela,
VARIABLES COMPLEXES. 2^i
de remplacer les sinus et cosinus par leur valeur en exponentielles, d'effectuer les multiplications et de revenir ensuite aux lignes trigonométriques.
Proposons-nous, par exemple, d'exprimer sin'^*:; en fonction des sinus et des cosinus de z et de ses multiples (m étant supposé entier). On aura
Associons ensemble les termes à égale distance des extrêmes ; il viendra :
Si m est impair,
[■ / X fn(77i — i) . , , n sm m z — m sm {m — '2)z -\ ^^ ^sin(m — 4)^— ... ;
si m est pair,
(2f)'" sin'"^r= 2 ces m 5 — 2m cos{m — 2)5
m{jn — \)
-j 2 ^cos(w — [\)z — ...
On aura, de même,
2'"cos'"^ = (e'-4- e~^-Y^r= e"'^--\- me^"^-^^^--\- . . . et, en associant les termes deux à deux,
2'"cos'"^ - 2(,Qg mz -^ 2m cos{m — 2)^ 4-. . .. Cette série se terminera, si m est impair, par un terme en
cos
Z] SI m est pair, par un terme constant
244. On peut réciproquement exprimer cos/nz et sin niz J. — I. 16
242 PRKMIÈRE PAUTIE. — CHAPITRE H.
en fonction de sin^ et de cosz. On a, en effet,
cosm:; 4- /sinm^ = e'"'^=- {e''y"=z (cosz H- « sins)'",
d'où, en développant par la formule du binôme et égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires,
cosmz =:z cos'"^ cos'"~"-^ sin'^
Remplaçant dans ces formules sin^^ par i — cos-:;, ou réciproquement, on voit :
i" Que cosmz s'exprime par un polynôme de degré m en coss;
2° Que sinmz est un polynôme de degré m en sins si m est impair; que, si m est pair, sinm^ sera égal au produit de cosz par un polynôme de degré m — i en sinz.
245. Soit m un entier impair quelconque ; on aura, comme nous venons de le voir,
sinmz =:/(sinz),
/ désignant un polynôme de degré m. Il est aisé de mettre ce polynôme sous forme d'un produit de facteurs.
En effet, sinmz s'annule pour les m valeurs suivantes de z,
,71 , m —- ] TZ
m 2 ni
auxquelles correspondent autant de valeurs distinctes pour
sinz.
On aura donc
. . / sin^^ \ / sin'z \ sinmz=iAsmz/ i \'-"/ i \'
A désignant un facteur numérique.
Pour le déterminer, donnons à z une valeur infiniment petite. Le premier membre de l'équation précédente aura pour valeur principale mz et le second As. Donc A = m.
Changeons z en — ^; l'équation deviendra
sm^* — m
sin'
2i6. Arc tajngrnte. — La fonction u = arc tangs, inverse de la tangente, sera définie par l'équation
tanffM
ou
On en déduit
