h iz i — z

I IZ l ^ Z

(19) u=: i-.iog^^-^ = J.[log(/— ^)]og(f + ^)-h2A-7r«"].

Pour chaque valeur de s, les logarithmes ont chacun une infinité de valeurs, difierant de multiples de 27zi; u aura donc une infinité de valeurs différant entre elles de multiples de TT.

Les valeurs z = zt: i font exception. Pour chacune d'elles, l'un des logarithmes devient infini, et il en est de même de u.

Par chacun de ces deux points critiques traçons une coupure. Dans le reste du plan, les diverses valeurs de chaque logarithme et, par suite, celles de u forment des branches synectiques.

Il reste à voir comment ces branches se permutent entre elles à la traversée des coupures. Pour cela, supposons que z décrive, dans le sens direct, un contour fermé entourant le

244 PUEMIÈRE PARTIK. — CHAPITRE H.

point i en laissant le point — / à son extérieur. L'argument de i — ^, en variant d'une manière continue, se sera accru de 2-; celui de i -\- z reprendra sa valeur initiale. Le premier logarithme se sera donc accru de 27z/, sans que le second ait changé. La valeur initiale de u étant Uq, sa valeur finale sera donc Uq -f- tî.

On \oit de même que, si z tournait autour du point — /, u passerait de la valeur initiale Uq à la valeur finale Mq — tt.

En dérivant l'équation (19), on voit, d'ailleurs, que la fonction u a pour dérivée

247. Aiic sijvus. — Considérons encore la fonction u r= arc sin^,

inverse du sinus et définie par l'équation

d'où, en résolvant par rapport à e'",

(20) «=:4iog(/^d=v/7=r72),

y/i — ^2 désignant l'un des deux nombres réels ou com plexes dont le carré est i — z"^.

Soit îuq l'un des logarithmes de iz-^sj \ — z^\ les autre? auront pour forme générale iuQ-\- 'ikr^i\ d'autre part,

iz — i/i — z'^ étant éiiral à , admettra, pour un

^ ^ iz-^sli-z"' ^

de ses logarithmes, ir: — ///q, et la forme générale de ses logarithmes sera i{jz — «0) 4- 2 Arc/. Les diverses valeurs de // seront donc données par le système des deux formules

\ 71 — //oH- 2X71.

Ces valeurs sont loiites distinctes, à moins que Uq ne soit un multiple impair de —, auquel cas la seconde formule donne les mêmes valeurs que la première. Si cela a lieu, on aura

7log(/.^-hv/i--')

2 Ar' -h 1 lZ-i-\fl Z''=ze ^ r=r ( — 1'^')^

d'où

On a d'ailleurs, en dérivant l'équation (20), ,1 I /. I

i-v/l— -S'V 2^i^-2 J sjl—z-

dérivée finie et continue, sauf pour les valeurs critiques

248. Considérons la région du plan non extérieure à un contour fermé sans point multiple qui laisse à son extérieur les deux points critiques. Daus cette région, Uq^ admettant une dérivée constamment finie, varie d'une manière continue

et n'est jamais multiple impair de — . Le module de la difi*é-

rence entre Uq et celui de ces multiples qui en est le plus voisin restera supérieur à un nombre positif fixe. Les différences mutuelles des racines w, étant de l'une des deux formes a/rrc, iuq -[- [ik -^ 1)71, resteront aussi supérieures à un nombre fixe.

En raisonnant comme pour les fonctions algébriques, on en conclut que, si l'on trace, à partir des deux points critiques, des coupures quelconques, les valeurs de a pourront, dans tout le reste du plan, se répartir en branches synectiques.

249. Supposons, pour plus de simplicité, les coupures tracées de manière à ne pas rencontrer la portion de l'axe des X située entre — 1 et + i . Chacune des branches de la

fonction u sera caractérisée par la valeur qu'elle prend pour z=.o^ laquelle est un des nombres A't:, k étant un entier. Désignons par w^ la branche qui correspond à la valeur /ttt. Lorsque u varie de {k — ^)'^à (A^-h^)?:, son sinus 5 reste continu et réel et varie de — i à H- i ou de + i à — i , suivant que A' est pair ou impair, en passant par la valeur o pour u = kTz. Donc réciproquement, si z varie de — i à -h i , en

restant réel, u^ variera de A' — tz à A -h ■ h:.

Donc, en chacun de ces deux points, les branches prendront deux à deux des valeurs égales, de telle sorte qu'au point — i on ait

if 2k = ihk-x = (^^""2)^'

au point -t- i ,

ii2k+i = (2 A+ -W.

]^es deux branches qui deviennent ainsi égales en un poinl critique se permutent entre elles si z décrit un contour fermé sans point multiple G entourant ce point. Supposons, en effet, ce qui est permis, que ce contour soit infiniment petit et soit décrit autour du point H- i , par exemple. Tout le long de ce contour, chacune des branches de la fonction u conservera une valeur infiniment voisine de la valeur limite qu'elle atteint au point critique ; car, 1 — z'^ étant infiniment petit, il en est de même de \/ 1 — ^ ^ ; donc izàz\]\ — zdifférera infiniment peu de sa valeur limite « ; son module et son argument, et, par suite, son logarithme, différeront infiniment peu de leurs valeurs limites.

Parmi les diverses branches de la fonction, il en existe donc deux seulement dont les valeurs le long de G soient infiniment voisines de ( 2A--+--)7r : ce sont les deux branches

U'ik et u^k-hij dont la valeur limite est (2A H — jn.

Gela posé, soit ^o un point de G ; la valeur de W2A, par

exemple, au point Zq sera l'une des valeurs que l'expression

(21) Uog(lz-{-£sJl— Z')

prend pour z = Zq, £ étant égal à ±: 1 .

Lorsque z décrira le contour C, cette expression restant

infiniment voisine de ( 2 /c -H - ) '^, sa valeur finale coïncidera

avec la valeur au point z^ de l'une des deux fonctions «2^,

Mais le premier cas ne peut se présenter. En effet, pendant ce mouvement, l'argument de 1 -h^ change infiniment peu et reprend au retour sa valeur primitive ; celui de 1 — z varie, au contraire, de 27:; celui du produit i — z^ variera

donc de 27r et le radical y^i — z- = (i — z'^)'^ se reproduira,

multiplié par e^ = — 1. Donc, lorsque z reviendra à la valeur Zq, la valeur finale de la fonction sera l'une des valeurs de l'expression

-7\og(izo — £\/i—zl)j lesquelles sont toutes différentes des valeurs de l'expression

parmi lesquelles est comprise la valeur initiale. Donc, en décrivant le contour, on changera la valeur de u et l'on passera ainsi de la branche U2k à une autre branche, qui ne peut être

250. — La fonction arccos^ inverse du cosinus, définie par l'équation