I. — Formule de Taylor
251. Soiif(jo) une fonction réelle de la variable réelle x, qui resle continue, ainsi que ses n premières dérivées, dans un intervalle AA'.
Désignant par a et a -\- h deux points de cet intervalle, posons
/(a + h)=/{a) + hf(a) + ^/'(«) +. . .
-*-(7rmy-!/''-*(«) + R«-
Le reste R;i sera une nouvelle fonction de h que nous allons déterminer.
En prenant les dérivées successives de (i) par rapport à A, on voit : i'' que la dérivée /i'*""'* de R;^ est égale k f'^ (a -{- h) ; 2*^ que R„ et ses n — i premières dérivées s'annulent pour h = o.
Ces deux conditions suffisent à définir complètement R/^ ; car, si o est une fonction qui y satisfasse, la différence R;^ — cp, ayant sa dérivée n'^'"e n^He, sera un polynôme entier d'ordre n — I, mais ce polynôme et ses n — i premières dérivées s'annulent pour A = o; il est donc idenliquement nul.
25o PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE III.
Or on peut vérifier immédiatement que l'intégrale définie
^^TJr~^. I {a-^h-xY-'f-{œ)clœ
sa ^aitaux conditions précédentes.
Po. ^e montrer, posons d'abord x=^ a -\- t\ il viendra
Cherchons la dérivée de cette intégrale. On voit que h figure dans I à la fois comme limite et comme paramètre. Il faut donc appliquer la règle de dérivation des fonctions composées. Mais la fonction à intégrer s'annule pour tz=h\ donc la dérivée par rapport à la limite est nulle et il reste simplement le terme provenant de la dérivation par rapport au paramètre
On trouvera de même
Toutes ces expressions s'annulent pour h = o. Enfin, une dernière dérivation donnera
d"l Nous trouvons ainsi pour R^^ l'expression suivante :
Posons t =r uh' Il variera de o à i , et l'on aura
(2) R„=^l f {i-ur''f-{a-\-uli)du.
252. Soit/? un entier positif arbitraire non supérieur à a? ; la fonction à intégrer sera le produit des deux facteurs
(i— «)'''^ 6^ {i — u)"~''f"{a-\-uh),
dont le premier est positif et le second continu dans le champ d'intégration. On aura donc, en appliquant le théorème de la moyenne,
8 désignant une quantité comprise entre o et i . D'ailleurs
Donc
{i-QY-pf-{a + eii)
et, en particulier, si nous prenons p = /i,
253. La formule (i) est connue sous le nom de formule de Taylor. L'expression (3) du reste, donnée par Lagrange, est parfois commode; elle a toutefois l'inconvénient de contenir un nombre inconnu 9, dont on sait seulement qu'il est compris entre o et i . L'expression (2), qui ne contient rien d'indéterminé, est à cet égard préférable.
Si l'on suppose n constant et h infiniment petit, les formules (2) et (3) montrent que R„ est infiniment petit, d'ordre n au moins. On aura donc, pour l'infîniment petit
f{a + h) — /(«), la valeur
hfa-^—fa^...^-^ -.f-'a
approchée aux infiniment petits près de l'ordre n.
Supposons, au contraire, h constant ou assujetti à rester entre certaines limites et ii croissant indéfiniment. Si l'on peut démontrer que dans ces conditions R;^ tend vers zéro, on aura, à la limite,
/(a + /O = lirn [/«+/,/'«+...+ ^i^ /"-■«] . On dira, dans ce cas, que la série Infinie
f(a)+hfa+ il /"« + ...
converge vers /(a + /^), ou a cette quantité pour somme.
254. Posons, dans la formule de Taylor, a=:o, h^^x\ nous obtiendrons X-à formule de Maclaurin
(4) /(x)=/(o) + ^/'(o)+...+ ^^^/"-'(o) + H„, OÙ R/i peut être mis sous les formes suivantes :
Getle formule suppose que la fonction/ et ses dérivées jusqu'à l'ordre n soient continues dans un intervalle comprenant à son intérieur les points o et x.
2o5. On peut aisément étendre la formule de Tajlor aux fonctions de plusieurs variables.
Soit, en effet, y*(^, y) une fonction des variables réelles Xj y, dont les dérivées partielles jusau'à l'ordre n restent continues tant que x est compris entre /v et A', et y entre B
et B'. Soient a, a + A deux nombres compris entre A. et A', jj^ }y -^ k deux nombres compris entre B et B'. Posons aL^= a -\- ht^ '^=^ b + kt. L'expression
/(a, (3) -r^fia + ht, b + kt)^ 9(0, considérée comme fonction de t^ aura des dérivées
Ces dérivées seront continues tant que a -\- ht sera compris entre A et A', et 6 + A-^ entre B et B', et a fortiori quand t variera de o à i .
Appliquant à cette fonction la formule de Maclaurin et posant t = I dans l'équation obtenue, nous aurons
/(«-+- A,64-^)=:/(a,^>) + (a J^ 4- A-^y (a, 6) 4-. . . Rji pouvant être mis sous l'une des formes suivantes :
En posant /(<7, b) =/, f{a-^- A, b -\- k)=^y -i- Ay, cette formule prendra la forme plus simple
laquelle subsisteraitévidemment pour un nombre quelconque de variables indépendantes.
Si A et A sont des infiniment petits du premier ordre, R^
sera un infiniment petit d'ordre n au moins, et pourra être supprimé de la formule, si l'on veut borner l'approximation à cet ordre de grandeur.
256. Les considérations précédentes s'étendent sans peine aux fonctions de variables complexes.
Soity*(s) une fonction de 5, synectique tant que cette variable reste dans l'intérieur d'un domaine E. Soit L une ligne rectifîable située dans l'intérieur de ce domaine et joignant les points a^ a-\- h. On verra, par un raisonnement identique à celui du n" 251, qu'on a
le reste R,^ étant donné par l'intégrale
Si la droite qui joint les points a ei a -{- h est tout entière comprise dans l'intérieur de E, on pourra la prendre pour ligne d'intégration; sa longueur sera | A |. D'autre part, I a -\- h — z\ variera de | A | à o. Si donc \t. est le maximum de 1/" [z) I sur cette ligne, on aura
Cette hypothèse se réalisera toujours si l'on admet qu'on puisse tracer du pointa comme centre un cercle K contenant le point a -\- h dans son intérieur, et tel que tous les points non extérieurs à ce cercle soient intérieurs à E.
257. On peut aisément établir que, dans ce cas, R„ tend vers zéro lorsque n tend vers oo.
En eftet, ./'{z) étant continue dans l'intérieur de E, son module le long du cercle K ne pourra surpasser un certain maximum M'; soient p le rayon du cercle, 5 la distance
du point z au point a, laquelle varie de o à | A|. Sa distance au cercle K sera p — B, et, f"{z) étant la dérivée (/i — i)'^'"^ de/'(5), on aura, d'après la formule du n*" 207,
D'autre part,
Donc
I « ^ /, ^ I'.-. 1/- 1 = (iAiz!y"' („-■)! M'
car le maximum de ' — - — «:- correspond évidemment à 8= o.
On aura donc, | h \ étant la longueur de la ligne L,
|RJ3(^)""'m'|/'I.
et, comme |A| < p, cette expression tend vers zéro pour
Nous pouvons donc énoncer ce théorème : La série infinie
est convergente et a pour somme f{a -{- h) tant que le point a -^ h restera intérieur à un cercle K ayant son centre en a et qui soit entièrement intérieur à E.
\{,\\ posant, en particulier, « = o, h = z^ on aura la formule de Maclaurin, qui, pour n = ce, donnera une série converirente dans les mêmes conditions.
2o8. Le théorème établi dans le numéro précédent peut être démontré par une autre voie, qui donne une nouvelle expression du reste. .
23t> PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
Les points a ei a-{- h étant contenus dans le cercle K, où la fonction y(^) est synectiqiie, on aura
(,z-i) où
! r hnfiz)clz
Soient p le rayon du cercle K, M le maximum de f(z) sur ce cercle ; on aura
quantité qui tend vers zéro pour n = ce.
2o9. L'extension aux fonctions de plusieurs variables ne soutire aucune difficulté.
Soit, par exemple, une fonction /(^, u) de deux variables qui reste synectique tant que z ne sort pas d'un cercle K. de rayon ?^ ayant son centre en a, ni u d'un cercle K, de rayon /*, ayant son centre en b. Soient a -\- h un point intérieur à K, 6 + A*un point intérieur à K, , enfin p une quan-
lite > I, mais qui ne surpasse 1117-7—, m ï-r-i* 1- expression ^ ^ \li\ \k\ ^
/{a -h ht, a -h kl)
sera une fonction de t, synectique tant que l ne sortira |)as d'un cercle de rayon p. On peut donc la développer, pour
^ = 1, par la formule de Maclaurin. Le résultat sera identique à celui du n° 255, et le reste R^ tendra vers zéro pour
/l =r GC.
260. Appliquons la formule de Maclaurin à quelques fonctions simples.
La fonction e^ a toutes ses dérivées successives égales à e' . Pour ^ =: o, elles se réduisent à l'unité. On aura donc le développement
I 1.2 {ri -i)\
qui sera toujours convergent, quel que soit ^, car e^ est synectique dans tout le plan.
Posant z = i dans cette formule, nous trouverons la valeur
de la constante e
Changeant z en «s, puis en — iz et combinant les formules obtenues, il viendra
iz
iz
(8) sin^=i -. —z -H — . . .,
séries également convergentes dans tout le plan.
26L Considérons la fonction i^ =(i +5)"*, et, pour préciser, dans le cas où în n'est pas un entier réel, celle des branches de cette fonction qui se réduit à 1 pour z:=o. On
aura
u — {\-^zY\ ii'—m{i-hzy^-\
Pour s= o, ces expressions se réduiront à
Substituant ces valeurs dans le développement de Maclau- J. - I. 17
riii, on obtient la formule du binôme :
iinim — I ) „
La fonction (i -h ^)'" n'avant qu'un point critique z=z — i ^ la série ci-dessus sera convergente tant que [ 3 | << i . Car, si cette condition est satisfaite, soit p une quantité comprise entre | « | et l'unité. La fonction sera synectique dans un cercle de rayon p ayant pour centre l'origine, et le point z lui est intérieur.
Au contraire, si | 3 | >> i , l<i série ne sera pas convergente. Il faudrait, en effet, pour qu'elle le fût, que la somme S,i de ses n premiers termes tendit pour n z=z co vers une limite fixe et, par suite, que S^^i — S;^ tendît vers zéro. Or cette différence est le (/z + i )'''"* terme de la série. Ces termes devraient donc tendre vers zéro pour n = ce, ce qui n'a pas lieu, car leur module augmente au contraire avec /i dès que /i est suffisamment grand. En effet, le rapport du terme
général
m ( m — i). . .{m — n -j- i) ^^ 1 .2 . . .n au précédent est
et, quand n tend vers co, le module de ce rapport tend vers I z |, quantité >> i .
!^62. Passons à la fonction a = log(i + z). Ses dérivées successives sont
u"~{— i)''-^ /i — i ) ! ( I 4- - )-". Pour ^ = o, elles se r duisent respectivement à I, -., ..., (,)«-i(n i)!
On aura donc, en adoptant celle des branches du logarithme qui s'annule pour 5=0,
(.0) log(.H-^) = .^— - -h...H 4-....
Par les mêmes raisons que pour la formule du binôme, ce développement sera convergent si | s | <C i , divergent si
En changeante en — z, nous trouvons
loi?(i — z)^=- — z ... ...
et en retranchant
logr =12 5, „ , .
Posons
la -\- X a et X étant deux nombres réels et positifs; il viendra
jog m \o^{a + x) — loga
la^x Z{^ia -^ xY C'est sur cette formule et sur la suivante,
log^-l- log/:= log^J,
qu'est fondé le calcul des Tables de logarithmes. En posant « = i , ^ = i , on auja tout d'abord
Posant ensuite a = i25, ^ = 3, il viendra
logI28- logI25=2 ( — -4-..
et, comme log i 28 = log2^ = "j log 2, log i 20 := 3 logo, celle équation donnera log 5.
26o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
On trouvera de même log3 par l'équation 41og3 — 4 log2 — log5 = log8i — log8o=:2 / -^ -h. . . j,
puis log 7 par l'équation
4 log7 — 51og2 — logS — 2 log5 = log7* — log(7* — 0
et ainsi de suite pour les autres nombres premiers. Une simple addition donnera ensuite les logarithmes des nombres composés.
Les logarithmes ainsi calculés sont népériens. Pour obtenir les logarithmes vulgaires, on devra les multiplier par le facteur
