On dit que l'intégrale
^Ef{^,y, • .')de
est d'un ordre de multiplicité /i, si le nombre des dimensions du champ E, dans lequel elle est prise (ou, ce qui revient au même, le nombre des variables indépendantes x, y, . . .), est égal à n.
55. Les théorèmes exposés jusqu'à présent ne dépendent aucunement de ce nombre n. Mais, dans le cas des intégrales
simples, où n = i, il est nécessaire, pour se conformer aux usages reçus, d'introduire quelques légères modifications aux notions précédentes.
Presque toujours, le champ de l'intégration est le domaine d'un seul tenant formé par les nombres compris entre deux nombres fixes a et b. On doit alors partager l'intervalle ab en éléments infiniment petits dxt, dx2, ..-, et l'on représente l'intégrale par la notation
f{x) dx.
On voit que le signe de sommation S a été remplacé par le signe équivalent J^ et qu'au lieu de désigner le champ par une seule lettre, on met en évidence ses deux extrémités <2, 6, qu'on nomme les limites inférieure et supérieure de l'intégrale.
Si 6 >> «, ce sont là des changements de pure forme ; mais, si 6 < «, on introduit une nouvelle convention que nous devons signaler. Dans la théorie générale, l'étendue des éléments de était toujours considérée comme étant une quantité positive. Ici, au contraire, nous affecterons chacun des segments dx du signe — ?>\ b <^a (auquel cas x décroît en variant de a à 6).
Jl résulte évidemment de cette convention qu'on a
(3) J^ /{X)dx=:-J f{x)dx.
En outre,
(4) f f{x)dx-^ f f{x)dx^ f f{x)dx.
Car, si <2 <; 6 <; c, cette égalité est un cas particulier d'une proposition énoncée au n" 50, et notre présente convention la rend applicable aux autres cas.
Si
on aura (51)
^ f{œ)dx — c' l f'{œ)dx-\-c" i f"{x)dx-\-....
Si M, m désignent le maximum et le minimum de /(a:) dans le champ a6, et L le maximum de son module, l'étendue du champ étant évidemment \h — rt |, on aura (49)
(6) ni{b — a)^f f{x)dx = U{b — a)
si b >> a.
Si b<ia^ le sens des inégalités sera renversé. Mais on aura dans tous les cas
j f{^^)dx
56. Le calcul d'une intégrale multiple d'ordre n se ramène, ainsi qu'on va le voir, lorsque le champ a une étendue mesurable, à celui de n intégrales simples successives.
Nous supposerons, pour plus de simplicité, n^=i. Le champ E sera représenté géométriquement par un ensemble de points (^, y) situés dans un plan.
Gela posé, les valeurs de y^ auxquelles correspondent des points de E, forment un ensemble borné F. Soit r\ l'une d'elles. Les valeurs de x qui, associées à tj, donnent des points de E, forment un ensemble Gy, également borné. Nous ne pouvons pas affirmer que Grj ait une longueur mesurable, ni que la fonction /(:r, y^) j soit intégrable; mais, cette fonction étant bornée, on pourra toujours déterminer, dans l'intérieur de Gyj, son intégrale par excès et son intégrale par défaut. Ge seront des fonctions de ri, que nous pourrons désigner par J(y|) et y (vj), et qui sont bornées dans le domaine F.
Nous pourrons donc déterminer, dans l'intérieur de F :
1° l'intégrale par excès de J(^), que nous désignerons par K; 2'* l'intégrale par défaut dey(ri), que nous désignerons par A". Comme on a évidemment J('yi)>y(^), k sera au plus égal à l'intégrale par défaut de J(vi) et, a fortiori, au plus égal àK.
Nous allons montrer, d'autre part, que K est au plus égal à l'intégrale double
prise par excès.
A cet effet, décomposons le plan en rectangles infiniment petits par des parallèles aux axes. Celui de ces rectangles qui est limité par les droites x^=^Xi^ x ^=^ Xi-\- dxi^ y z= y/f^ y =z yf(-\~ dy/( a pour aire dxtdyk] nous le désignerons par e/Zf, s'il est tout entier intérieur à E, par e\i^ s'il contient un point de la frontière de E. Dans chacun des rectangles etk^ la fonction f{x^y) admettra un maximum M^vt; et dans les parties communes à E et aux rectangles e^^, elle ne pourra surpasser un nombre fixe M, maximum de /{^^ y)i dans le domaine E.
L'ensemble Gyj est formé par les points communs à E et à la droite y = y|. Les parallèles aux x que nous avons tracées partagent cette droite en segments, et l'intégrale i{f\) est égale à la somme des intégrales partielles prises dans l'intérieur des portions communes à E et à ces divers segments.
Supposons r\ compris entre yk et yk-^ dy^^ k ayant vme valeur déterminée. Soit eik l'un des rectangles intérieurs correspondants à cette valeur de k. Le segment de la droite y = Tj contenu dans ce rectangle a pour longueur dxi et se trouve en entier dans E; d'ailleurs la fonction y en chaque point de ce segment a une valeur au plus égale à M.ik> La valeur de l'intégrale correspondante ne peut donc surpasser Islikdxi.
Soit, d'autre part, e'-f. un des rectangles également compris entre les droites y =z yk qI y =. yff-\- dyk^ mais qui rencontrent la frontière de E. La longueur (intérieure) de la portion de la droite y = 7^ commune à E et à ce rectangle ne
peut surpasser dxi\ la valeur de /ne peut y surpasser M; la valeur de l'intégrale correspondante ne peut donc surpasser lAdxi,
La valeur de J('3rj) ne pourra donc surpasser la quantité
\y,k — 2 ^ik d'^i + M V dxi,
la première somme s'étendant à ceux des rectangles <?/a, et la seconde à ceux des rectangles e^-^^ où A* a la valeur constante que nous avons supposée.
Si donc nous désignons par I^ la valeur de l'intégrale par
excès de J('îo) dans l'intervalle de r\^= yj^ à 'r^z=i yj^-\- dy^^ on aura
Chacun des éléments dyk intérieurs à F donne une relation de ce genre. Sommant ces égalités, il vient
Passons maintenant à la limite en supposant que l'étendue des rectangles décroisse indéfiniment. Le premier membre Sly^ aura évidemment pour limite l'intégrale K. La première somme du second membre aura pour limite l'intégrale double
A /("^j y) ^^ prise par excès. La seconde a pour limite zéro,
si E est mesurable, comme nous l'avons supposé. Notre proposition est donc démontrée.
57. On verra, par un raisonnement tout semblable, que l'intégrale par défaut k est au moins égale à l'intégrale double
\ fi^i y) ^^? pi'ise par défaut. Mais, par hypothèse, f{x^ y)
est intégrable. L'intégrale double a donc la même valeur,
qu'on la prenne par défaut ou par excès. On aura donc
K = j^ f{œ, y) de — k,
et, pour déterminer l'intégrale double, il suffira de calculer K ou A', qui s'obtiennent chacun par deux intégrations simples successives.
58. Supposons en particulier le champ E constitué de telle sorte qu'une parallèle y =f\ k l'axe des x ne coupe sa frontière qu'en deux points ayant pour abscisses C2(rj) et <^(rj). Soit, pour fixer les idées, ^{y\) > ^(■^)- Si la fonction f{x, yj) est intégrable dans l'intervalle de cp(7]) à <Ï*(iq), on aura
Hri)=j{v)= / f{œ,r\)dœ.
Soient 6 et B le minimum et le maximum de y dans tout le champ. Si i{r{) est intégrable de 6 à B, on aura
^lî ^B r ^^î»(o) n
Jb Jb L'^ÇC'2) J
et en appelant y la variable de sommation, précédemment désignée par Tj,
Supposons de même : i^ qu'une parallèle x^=\ k l'axe des y ne coupe la frontière de E qu'en deux points ayant pour ordonnées tj;(^) et ^(ç)> J^(^); 2" que f{\^ y) soit intégrable de ^(^) à ^(?); 3" que son intégrale Ji(ç) soit elle-même intégrable de a à A, a étant le minimum et Aie maximum de X dans tout le champ E; on aura de la même manière
Lorsque le champ E est un rectangle, on a
et la comparaison des deux valeurs de l'intégrale double donne
(8) J dy\j f{œ,y)dx\ =rjf dr\j fi,x,y)dy\.
On peut, dans ce cas, représenter celte intégrale double par la notation plus symétrique
af{x, y)dxdy,
qui met en évidence les deux intégrations à effectuer successivement; ces deux opérations peuvent d'ailleurs être interverties, comme nous venons de le voir.
